红黑树 (red-black tree) 是一种自平衡二叉树，于 1972 年由 Rudolf Bayer 发明，发明时被称为 对称二叉 B 树，现代名称红黑树来自 Knuth 的博士生 Robert Sedgewick 于 1978 年发表的论文。红黑树的结构复杂，但操作有着良好的最坏情况运行时间：它可以在 时间内完成查找、插入和删除操作。

红黑树是具有下列着色性质的 BST：

1. 每个结点要么是黑色要么是红色
2. 根是黑色的
3. 如果一个结点是红色的，那么它的子结点必须是黑色的
4. 从一个结点到一个 NULL 指针的每一条路径都必须包含相同数目的黑色结点

根据着色规则，red-black tree 高度最多是 ，因此查找保证是一种对数的操作。当然还有一条约定，空结点 nullptr 我们假设其为黑色，这样我们可以在不违反约定的情况下，方便操作。

通常困难在于将一个插入一个新结点后，如果将结点涂为黑色将违反性质 4，因为这会让路径上的黑色结点数量加一，但其他路径上黑色结点数量不变。

因此在插入结点时，默认结点为红色，父结点为黑色时，直接插入。在以下的情况中不再讨论这种情况。父结点是红色则会违反规则 3，在这种情况下必须修改树以满足所有性质。

红黑树的自底向上插入

如果新插入的结点 X 是红色的，它有父结点 P，兄弟结点 S，叔父结点 U，以及祖父结点 G。那么需要考虑几种情况：

1. 如果 P、U 都是红色的，意味着 G 是黑色的，可以将 P、U 重绘为黑色将 G 重绘为红色，这样既不会违反规则 3 也不会违反规则 4。但是 G 之上的情况我们不知道，G 也可能是根，因此需要对 G 进行递归地向上进行重绘操作
2. 如果 P 与 U 只有一个是红色的，意味着 G 是黑色的，而插入的 X 虽然不违反规则 4 但是违反了规则 3，迫使 X 或 P 变为黑色，而这样又会违反规则 4。为了让树再次符合要求，我们对其需要进行旋转操作并重绘结点颜色，其实这里的旋转操作与 AVL 树中是一致的，只是将结点的平衡因子转换为了颜色信息。 a. 当 X、P、G 形成 zig-zig 时，我们采用 single rotation b. 当 X、P、G 形成 zig-zag 时，我们采用 double rotation

// 该函数仅处理父结点是红色的情况，黑色情况则直接插入即可
// 使用头结点方便处理，头结点的 parent 指向 root，root 的 parent 指向 head
void insert_help(Node* node, Node* head) {
  // 当结点不是树的根或父结点是红色时，进行循环
  while (node != head->parent && node->parent->tag == RED) {
    Node* uncle = get_uncle(node);
    Node* grandparent = get_grandparent(node);
    Node* parent = node->parent;
    // 如果叔父结点不为空且为红色，符合情况 1
    if (uncle != nullptr && uncle->tag == RED) {
      parent->tag = uncle->tag = BLACK;
      grandparent->tag = RED;
      node = grandparent;
      continue;
    }
    // 判断 zig-zig 或 zig-zag 类型，进行相应的旋转
    if (parent == grandparent->left) {
      if (node == parent->right) { // l-r 的 zig-zag
	node = parent;
	parent = rotate_left(parent);
      }
      rotate_right(grandparent); // l-l 的 zig-zig
    } else {
      if (node == node->parent->left) { // r-l 的 zig-zag
	node = parent;
	parent = rotate_right(parent);
      }
      ratate_left(grandparent); // r-r 的 zig-zig
    }
    grandparent->tag = RED;
    parent->tag = BLACK;
  }
  head->parent->tag = BLACK;
}

红黑树的自顶向下插入

自底向上的操作需要父指针或栈保存路径，而自顶向下时实际是对红黑树应用自顶向下保证 S 不会时红色的过程。

在向下的过程中，如果结点 N 有两个红色的孩子时，将孩子重绘为黑色，结点 N 重绘为红色。结点 N 与其父结点 P 都为红色时，将违反红黑树的着色性质，此时对其进行 zig-zig 或 zig-zag 旋转即可。至于叔父结点 U 在自顶向下的过程中排除了红色的可能。

// 自顶向下插入，value 是待插入的值
void insert(Node* node, Node* head, T& value, Node** pos = nullptr) {
  bool inserted = false;
  if (node == nullptr) { // 插入结点，默认为红色
    node = new Node(value);
    *pos = node;
    inserted = true;
  }
  if (node->left != nullptr && node->left->tag == RED &&
      node->right != nullptr && node->right->tag == RED) {
    node->left->tag = node->right->tag = BLACK;
    node->tag = RED;
  }
  head->parent->tag = BLACK;
  Node* gp = get_grandparent(node);
  Node* parent = node->parent;
  if (node->tag == RED && parent->tag == RED) {
    // 判断 zig-zig 或 zig-zag 类型，进行相应的旋转
    if (parent == gp->left) {
      if (node == parent->right) { // l-r 的 zig-zag
	parent = rotate_left(parent);
      }
      rotate_right(gp); // l-l 的 zig-zig
    } else {
      if (node == parent->left) { // r-l 的 zig-zag
	parent = rotate_right(parent);
      }
      ratate_left(gp); // r-r 的 zig-zig
    }
    gp->tag = RED;
    parent->tag = BLACK;
  }
  if (inserted) {
    return;
  }
  if (node->val < value) {
    insert(node->left, head, &node->left, value);
  } else {
    insert(node->right, head, &node->right, value);
  }
}

红黑树的自顶向下删除

删除结点时，所有情况都可以归结于删除一个叶结点，因为删除带有两个孩子的结点，都可以与其左子树最大结点或右子树最小结点的值进行交换，这只改变了值没有改变颜色，并不影响红黑树的性质。之后删除交换后的叶结点即可。对于红色叶结点，我们可以将其直接删除，这不影响红黑树的结构，如果有孩子我们只需要用其孩子代替它即可。如此我们需要保证在自顶向下过程中保证叶结点是红色的。

假设当前结点是 N，其兄弟结点 S、父结点 P、叔父结点 U 和祖父结点 G。开始时需要将树根重涂为红色，沿树向下遍历，当到达一个结点时，确保 P 是红色、N 和 S 是黑色。在此过程中会遇到一些情况：

1. N 有两个黑色的孩子，此时 a. S 也有两个黑色的孩子，那么重涂反转 N、S、P 的颜色，树结构不变 b. S 有红色的孩子，根据红色的孩子进行 signal rotate 或 double rotate。如果两个孩子都是红色，任选一个进行旋转即可
2. N 有红色的孩子，此时向下递归 a. 新的 N 是红色，继续递归 b. 新的 N 是黑色，对 S 和 P 进行旋转，S 成为 P 的父结点，重绘 P 与 S 的颜色，即可得到红色的父结点 P。对于 P 来说，回到情况 1