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博客参考书籍:《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。
2.相平面法
2.1 相平面的概念
考虑如下的二阶时不变系统:
x ¨ = f ( x , x ˙ ) \ddot{x}=f(x,\dot{x}) x¨=f(x,x˙)
其中: f ( x , x ˙ ) f(x,\dot{x}) f(x,x˙)是 x ( t ) x(t) x(t)和 x ˙ ( t ) \dot{x}(t) x˙(t)的线性或非线性函数;
x ( t ) x(t) x(t)和 x ˙ ( t ) \dot{x}(t) x˙(t)称为系统运动的相变量(状态变量),以 x ( t ) x(t) x(t)为横坐标, x ˙ ( t ) \dot{x}(t) x˙(t)为纵坐标构成的直角坐标平面称为相平面;
相变量从初始时刻 t 0 t_0 t0对应的状态点 ( x 0 , x ˙ 0 ) (x_0,\dot{x}_0) (x0,x˙0)起,随着时间 t t t的推移,在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹;
根据微分方程解的存在与唯一性定理,对于任一给定的初始条件,相平面上有一条相轨迹与之对应;多个初始条件下的运动对应多条相轨迹,形成相轨迹簇,由一簇相轨迹组成的图形称为相平面图;
相轨迹在某些特定情况下,可以通过积分法,直接由微分方程获得 x ˙ ( t ) \dot{x}(t) x˙(t)和 x ( t ) x(t) x(t)的解析关系式;
x ¨ = d x ˙ d t = d x ˙ d x ⋅ d x d t = x ˙ d x ˙ d x \ddot{x}=\frac{
{\rm d}\dot{x}}{
{\rm d}t}=\frac{
{\rm d}\dot{x}}{
{\rm d}x}·\frac{
{\rm d}x}{
{\rm d}t}=\dot{x}\frac{
{\rm d}\dot{x}}{
{\rm d}x} x¨=dtdx˙=dxdx˙⋅dtdx=x˙dxdx˙
可得:
x ˙ d x ˙ d x = f ( x , x ˙ ) \dot{x}\frac{
{\rm d}\dot{x}}{
{\rm d}x}=f(x,\dot{x}) x˙dxdx˙=f(x,x˙)
g ( x ˙ ) d x ˙ = h ( x ) d x g(\dot{x}){\rm d}\dot{x}=h(x){\rm d}x g(x˙)dx˙=h(x)dx
两端积分可得:
∫ x ˙ 0 x ˙ g ( x ˙ ) d x ˙ = ∫ x 0 x h ( x ) d x \int_{\dot{x}_0}^{\dot{x}}g(\dot{x}){\rm d}\dot{x}=\int_{x_0}^{x}h(x){\rm d}x ∫x˙0x˙g(x˙)dx˙=∫x0xh(x)dx
其中: x 0 、 x ˙ 0 x_0、\dot{x}_0 x0、x˙0为初始条件;
2.2 相轨迹绘制的等倾线法
等倾线的基本思想:先确定相轨迹的等倾线,进而绘制相轨迹的切线方向场,然后从初始条件出发,沿方向场逐步绘制相轨迹;
相轨迹微分方程:
d x ˙ d x = f ( x , x ˙ ) x ˙ \frac{
{\rm d}\dot{x}}{
{\rm d}x}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}} dxdx˙=x˙f(x,x˙)
上式给出了相轨迹在相平面上任一点 ( x , x ˙ ) (x,\dot{x}) (x,x˙)处切线的斜率,取相轨迹切线的斜率为某一常数 α \alpha α,得等倾线方程:
x ˙ = f ( x , x ˙ ) α \dot{x}=\frac{f(x,\dot{x})}{\alpha} x˙=αf(x,x˙)
使用等倾线法绘制相轨迹应注意的几点:
- 坐标轴 x x x和 x ˙ \dot{x} x˙应选用相同的比例尺,以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线;
- 在相平面的上半平面,由于 x ˙ > 0 \dot{x}>0 x˙>0,则 x x x随 t t t增大而增加,相轨迹的走向是由左向右;在相平面的下半平面,由于 x ˙ < 0 \dot{x}<0 x˙<0,则 x x x随 t t t增大而减小,相轨迹的走向应由右向左;
- 除系统的平衡点外,相轨迹与 x x x轴的相交点处切线斜率 α = f ( x , x ˙ ) x ˙ \alpha=\displaystyle\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}} α=x˙f(x,x˙)应为 + ∞ +\infty +∞或 − ∞ -\infty −∞,即相轨迹与 x x x轴垂直相交;
- 一般地,等倾线分布越密,所作的相轨迹越准确,等倾线法主要用来分析相轨迹的形状和走向;
2.3 线性系统的相轨迹
-
线性一阶系统的相轨迹
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T c ˙ + c = 0 T\dot{c}+c=0 Tc˙+c=0
相轨迹方程为:
c ˙ = − 1 T c \dot{c}=-\frac{1}{T}c c˙=−T1c
设系统初始条件为: c ( 0 ) = c 0 c(0)=c_0 c(0)=c0,则 c ˙ ( 0 ) = c ˙ 0 = − 1 T c 0 \dot{c}(0)=\dot{c}_0=-\displaystyle\frac{1}{T}c_0 c˙(0)=c˙0=−T1c0,相轨迹如下图所示:相轨迹位于原点,斜率为 − 1 T -\displaystyle\frac{1}{T} −T1的直线上;当 T > 0 T>0 T>0时,相轨迹沿该直线收敛于原点;当 T < 0 T<0 T<0时,相轨迹沿该直线发散至无穷;
-
线性二阶系统的相轨迹
描述线性二阶系统自由运动的微分方程为:
c ¨ + a c ˙ + b c = 0 \ddot{c}+a\dot{c}+bc=0 c¨+ac˙+bc=0
当 b > 0 b>0 b>0时,微分方程可表示为:
c ¨ + 2 ζ ω n c ˙ + ω n 2 c = 0 \ddot{c}+2\zeta\omega_n\dot{c}+\omega_n^2c=0 c¨+2ζωnc˙+ωn2c=0
线性二阶系统的特征根为:
s 1 , 2 = − a ± a 2 − 4 b 2 s_{1,2}=\frac{-a±\sqrt{a^2-4b}}{2} s1,2=2−a±a2−4b
相轨迹微分方程为:
d c ˙ d c = − a c ˙ − b c c ˙ \frac{ {\rm d}\dot{c}}{ {\rm d}c}=\frac{-a\dot{c}-bc}{\dot{c}} dcdc˙=c˙−ac˙−bc
令 − a c ˙ − b c c ˙ = α \displaystyle\frac{-a\dot{c}-bc}{\dot{c}}=\alpha c˙−ac˙−bc=α,可得等倾线方程:
c ˙ ( t ) = − b c ( t ) α + a = k c ( t ) \dot{c}(t)=-\frac{bc(t)}{\alpha+a}=kc(t) c˙(t)=−α+abc(t)=kc(t)
其中: k k k为等倾线斜率;当 a 2 − 4 b > 0 a^2-4b>0 a2−4b>0,且 b ≠ 0 b≠0 b=0时,可得满足 k = α k=\alpha k=α的两条特殊的等倾线,其斜率为:
k 1 , 2 = α 1 , 2 = s 1 , 2 = − a ± a 2 − 4 b 2 = − ζ ω n ± ω n ζ 2 − 1 k_{1,2}=\alpha_{1,2}=s_{1,2}=\frac{-a±\sqrt{a^2-4b}}{2}=-\zeta\omega_n±\omega_n\sqrt{\zeta^2-1} k1,2=α1,2=s1,2=2−a±a2−4b=−ζωn±ωnζ2−1
上式表明,特殊的等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率,即当相轨迹运动至特殊的等倾线上时,将沿着等倾线收敛或发散,而不可能脱离该等倾线;关于 b < 0 , b = 0 , b > 0 b<0,b=0,b>0 b<0,b=0,b>0的简单讨论:
-
b < 0 b<0 b<0
系统特征根为:
s 1 = − a + a 2 + 4 ∣ b ∣ 2 > 0 , s 2 = − a − a 2 + 4 ∣ b ∣ 2 < 0 s_1=\frac{-a+\sqrt{a^2+4|b|}}{2}>0,s_2=\frac{-a-\sqrt{a^2+4|b|}}{2}<0 s1=2−a+a2+4∣b∣>0,s2=2−a−a2+4∣b∣<0
s 1 , s 2 s_1,s_2 s1,s2为两个符号相反的互异实根;b < 0 b<0 b<0时,线性二阶系统的运动是不稳定的;
-
b = 0 b=0 b=0
系统特征根为:
s 1 = 0 , s 2 = − a s_1=0,s_2=-a s1=0,s2=−a
相轨迹微分方程为:
d c ˙ d c = − a \frac{ {\rm d}\dot{c}}{ {\rm d}c}=-a dcdc˙=−a
积分法可得相轨迹方程:
c ˙ ( t ) − c ˙ 0 = − a ( c ( t ) − c 0 ) \dot{c}(t)-\dot{c}_0=-a(c(t)-c_0) c˙(t)−c˙0=−a(c(t)−c0)
相轨迹为过初始点 ( c 0 , c ˙ 0 ) (c_0,\dot{c}_0) (c0,c˙0),斜率为 − a -a −a的直线,当 a > 0 a>0 a>0时,相轨迹收敛并最终停止在 c c c轴上,当 a < 0 a<0 a<0时,相轨迹发散至无穷; -
b > 0 b>0 b>0
取 ζ = a 2 b \displaystyle\zeta=\frac{a}{2\sqrt{b}} ζ=2ba:
① 0 < ζ < 1 0<\zeta<1 0<ζ<1,系统特征根为一对具有负实部的共轭复根,相轨迹为向心螺旋线,最终趋于原点;
② ζ > 1 \zeta>1 ζ>1,系统特征根为两个互异负实根: s 1 = − ζ ω n + ω n ζ 2 − 1 , s 2 = − ζ ω n − ω n ζ 2 − 1 s_1=-\zeta\omega_n+\omega_n\sqrt{\zeta^2-1},s_2=-\zeta\omega_n-\omega_n\sqrt{\zeta^2-1} s1=−ζωn+ωnζ2−1,s2=−ζωn−ωnζ2−1;
③ ζ = 1 \zeta=1 ζ=1,系统特征根为两个相等的负实根;
④ ζ = 0 \zeta=0 ζ=0,系统特征根为一对纯虚根 s 1 , 2 = ± j ω n s_{1,2}=±{\rm j}\omega_n s1,2=±jωn,系统自由运动为等幅正弦振荡;
⑤ − 1 < ζ < 0 -1<\zeta<0 −1<ζ<0,系统特征根为一对具有正实部的共轭复根,系统自由运动呈发散振荡形式;
⑥ ζ ≤ − 1 \zeta≤-1 ζ≤−1, ζ < − 1 \zeta<-1 ζ<−1时系统特征根为两个正实根, s 1 = ∣ ζ ∣ ω n + ω n ζ 2 − 1 , s 2 = ∣ ζ ∣ ω n − ω n ζ 2 − 1 s_1=|\zeta|\omega_n+\omega_n\sqrt{\zeta^2-1},s_2=|\zeta|\omega_n-\omega_n\sqrt{\zeta^2-1} s1=∣ζ∣ωn+ωnζ2−1,s2=∣ζ∣ωn−ωnζ2−1;系统自由运动呈非振荡发散; ζ = − 1 \zeta=-1 ζ=−1时,系统特征根为两个相同的正实根,存在一条特殊的等倾线,系统相轨迹发散;
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2.4 奇点和奇线
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奇点
以微分方程 x ¨ = f ( x , x ˙ ) \ddot{x}=f(x,\dot{x}) x¨=f(x,x˙)表示的二阶系统,其相轨迹上每一点切线的斜率为 d x ˙ d x = f ( x , x ˙ ) x ˙ \displaystyle\frac{ {\rm d}\dot{x}}{ {\rm d}x}=\frac{f(x,\dot{x})}{\dot{x}} dxdx˙=x˙f(x,x˙),若在某点处 f ( x , x ˙ ) f(x,\dot{x}) f(x,x˙)和 x ˙ \dot{x} x˙同时为零,即有: d x ˙ d x = 0 0 \displaystyle\frac{ {\rm d}\dot{x}}{ {\rm d}x}=\frac{0}{0} dxdx˙=00的不定形式,则称该点为相平面的奇点;
相轨迹在奇点处的切线斜率不定,表明系统在奇点处可以按任意方向趋近或离开奇点,因此,在奇点处,多条相轨迹相交;在相轨迹的非奇点处,不同时满足 x ˙ = 0 \dot{x}=0 x˙=0和 f ( x , x ˙ ) = 0 f(x,\dot{x})=0 f(x,x˙)=0,相轨迹切线斜率是一个确定的值,经过普通点的相轨迹只有一条;
奇点一定位于相平面的横轴上,在奇点处, x ˙ = 0 , x ¨ = f ( x , x ˙ ) = 0 , \dot{x}=0,\ddot{x}=f(x,\dot{x})=0, x˙=0,x¨=f(x,x˙)=0,系统运动的速度和加速度同时为零;对于二阶系统来说,系统不再发生运动,处于平衡状态,因此,相平面的奇点亦称为平衡点;
特征根在 s s s平面上的分布决定了系统自由运动的形式,因此,可由此划分线性二阶系统奇点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)的类型:
- 焦点。当特征根为一对具有负实部的共轭复根时,奇点为稳定焦点;当特征根为一对具有正实部的共轭复根时,奇点为不稳定焦点;
- 节点。当特征根为两个负实根时,奇点为稳定节点;当特征根为两个正实根时,奇点为不稳定节点;
- 鞍点。当特征根一个为正实根,一个为负实根时,奇点为鞍点;
- 若线性一阶系统的特征根为负实根(奇点为原点)或线性二阶系统的特征根一个为零根,另一个为负实根时(奇点为横轴),相轨迹线性收敛;若线性一阶系统的特征根为负实根时或线性二阶系统一个根为零根,另一个根为正实根时,相轨迹线性发散;
对于常微分方程 x ¨ = f ( x , x ˙ ) \ddot{x}=f(x,\dot{x}) x¨=f(x,x˙),若 f ( x , x ˙ ) f(x,\dot{x}) f(x,x˙)解析,设 ( x 0 , x ˙ 0 ) (x_0,\dot{x}_0) (x0,x˙0)为非线性系统的某个奇点,则可将 f ( x , x ˙ ) f(x,\dot{x}) f(x,x˙)在奇点 ( x 0 , x ˙ 0 ) (x_0,\dot{x}_0) (x0,x˙0)处展开成泰勒级数,在奇点的小邻域内,略去 Δ x = x − x 0 \Delta{x}=x-x_0 Δx=x−x0和 Δ x ˙ = x ˙ − x ˙ 0 \Delta{\dot{x}}=\dot{x}-\dot{x}_0 Δx˙=x˙−x˙0的高次项,即取一次近似,则得到奇点附近关于 x x x增量 Δ x \Delta{x} Δx的线性二阶微分方程:
Δ x ¨ = ∂ f ( x , x ˙ ) ∂ x ∣ x = x 0 , x ˙ = x ˙ 0 Δ x + ∂ f ( x , x ˙ ) ∂ x ˙ ∣ x = x 0 , x ˙ = x ˙ 0 Δ x ˙ \Delta{\ddot{x}}=\left.\frac{\partial{f(x,\dot{x})}}{\partial{x}}\right|_{x=x_0,\dot{x}=\dot{x}_0}\Delta{x}+\left.\frac{\partial{f(x,\dot{x})}}{\partial{\dot{x}}}\right|_{x=x_0,\dot{x}=\dot{x}_0}\Delta{\dot{x}} Δx¨=∂x∂f(x,x˙) x=x0,x˙=x˙0Δx+∂x˙∂f(x,x˙) x=x0,x˙=x˙0Δx˙ -
奇线
奇线是特殊的相轨迹,将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域,最常见的奇线是极限环;由于非线性系统会出现自振荡,因此相应的相平面上会出现一条孤立的封闭曲线,曲线附近的相轨迹都渐近地趋向这条封闭的曲线,或从这条封闭的曲线离开;这条特殊的相轨迹就是极限环,极限环把相平面划分为内部平面和外部平面两部分;
极限环是相互孤立的,在任何极限环的邻近不可能有其他的极限环,极限环是非线性系统中的特有现象,只发生在非守恒系统中,这种周期运动的原因不在于系统无阻尼,而是系统的非线性特性,它导致系统的能量作交替变化,这样就有可能从某种非周期性的能源中获取能量,从而维持周期运动;
- 图 ( a ) {\rm (a)} (a):稳定的极限环。当 t → ∞ t\rightarrow\infty t→∞时,如果起始于极限环内部或外部的相轨迹均卷向极限环,则该极限环称为稳定的极限环;极限环内部的相轨迹发散至极限环,说明极限环的内部是不稳定的;极限环外部的相轨迹收敛至极限环,说明极限环外部是稳定的;
- 图 ( b ) {\rm (b)} (b):不稳定的极限环。当 t → ∞ t\rightarrow\infty t→∞时,如果起始于极限环内部或外部的相轨迹均卷离极限环,则该极限环称为不稳定的极限环;极限环内部的相轨迹收敛至环内的奇点,说明极限环的内部是稳定区域;极限环外部的相轨迹发散至无穷远处,说明极限环的外部运动是不稳定区域;
- 图 ( c ) {\rm (c)} (c)、图 ( d ) {\rm (d)} (d):半稳定极限环。当 t → ∞ t\rightarrow\infty t→∞时,如果起始于极限环内(外)部的相轨迹卷向极限环,而起始于极限环外(内)部的相轨迹卷离极限环,这种极限环称为半稳定极限环;图 ( c ) {\rm (c)} (c)中,其内部和外部都是不稳定区域,极限环所表示的周期运动是不稳定的,系统的运动最终将发散至无穷远处;图 ( d ) {\rm (d)} (d)中,其内部和外部都是稳定区域,极限环所表示的周期运动是稳定的,系统的运动最终将收敛至环内的奇点;
-
实例分析
Example1: 已知非线性系统的微分方程为:
x ¨ + 0.5 x ˙ + 2 x + x 2 = 0 \ddot{x}+0.5\dot{x}+2x+x^2=0 x¨+0.5x˙+2x+x2=0
求系统的奇点。解:
系统相轨迹微分方程为:
d x ˙ d x = − ( 0.5 x ˙ + 2 x + x 2 ) x ˙ \frac{ {\rm d}\dot{x}}{ {\rm d}x}=\frac{-(0.5\dot{x}+2x+x^2)}{\dot{x}} dxdx˙=x˙−(0.5x˙+2x+x2)
令 d x ˙ d x = 0 0 \displaystyle\frac{ {\rm d}\dot{x}}{ {\rm d}x}=\frac{0}{0} dxdx˙=00,求得系统的两个奇点:
{ x 1 = 0 x ˙ 1 = 0 , { x 2 = − 2 x ˙ 2 = 0 \begin{cases} &x_1=0\\ &\dot{x}_1=0 \end{cases}, \begin{cases} &x_2=-2\\ &\dot{x}_2=0 \end{cases} { x1=0x˙1=0,{ x2=−2x˙2=0
计算各奇点处的一阶偏导数及增量线性化方程:奇点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处:
∂ f ( x , x ˙ ) ∂ x ∣ x = 0 , x ˙ = 0 = − 2 , ∂ f ( x , x ˙ ) ∂ x ˙ ∣ x = 0 , x ˙ = 0 = − 0.5 \left.\frac{\partial{f(x,\dot{x})}}{\partial{x}}\right|_{x=0,\dot{x}=0}=-2,\left.\frac{\partial{f(x,\dot{x})}}{\partial{\dot{x}}}\right|_{x=0,\dot{x}=0}=-0.5 ∂x∂f(x,x˙) x=0,x˙=0=−2,∂x˙∂f(x,x˙) x=0,x˙=0=−0.5
可得:
Δ x ¨ + 0.5 Δ x ˙ + 2 Δ x = 0 \Delta{\ddot{x}}+0.5\Delta{\dot{x}}+2\Delta{x}=0 Δx¨+0.5Δx˙+2Δx=0
特征根为: s 1 , 2 = − 0.25 ± j 1.39 s_{1,2}=-0.25±{\rm j}1.39 s1,2=−0.25±j1.39,因此,奇点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)为稳定焦点;奇点 ( − 2 , 0 ) (-2,0) (−2,0)处:
∂ f ( x , x ˙ ) ∂ x ∣ x = − 2 , x ˙ = 0 = 2 , ∂ f ( x , x ˙ ) ∂ x ˙ ∣ x = − 2 , x ˙ = 0 = − 0.5 \left.\frac{\partial{f(x,\dot{x})}}{\partial{x}}\right|_{x=-2,\dot{x}=0}=2,\left.\frac{\partial{f(x,\dot{x})}}{\partial{\dot{x}}}\right|_{x=-2,\dot{x}=0}=-0.5 ∂x∂f(x,x˙) x=−2,x˙=0=2,∂x˙∂f(x,x˙) x=−2,x˙=0=−0.5
可得:
Δ x ¨ + 0.5 Δ x ˙ − 2 Δ x = 0 \Delta{\ddot{x}}+0.5\Delta{\dot{x}}-2\Delta{x}=0 Δx¨+0.5Δx˙−2Δx=0
特征根为: s 1 = 1.19 , s 2 = − 1.69 s_1=1.19,s_2=-1.69 s1=1.19,s2=−1.69,因此,奇点 ( − 2 , 0 ) (-2,0) (−2,0)为鞍点;
2.5 非线性系统的相平面分析实例
- 常见非线性特性多数可用分段直线来表示,或者本身就是分段线性的;
- 对于含有这些非线性特性的一大类非线性系统,由于不满足解析条件,无法采用小扰动线性化方法;
- 可根据非线性的分段特点,将相平面分成若干区域进行研究,可使非线性微分方程在各个区域表现在线性微分方程,再应用线性系统的相平面分析方法;
- 这一类非线性特性曲线的折线的各转折点,构成了相平面区域的分界线,称为开关线;
【具有死区特性的非线性控制系统实例分析】
实验要求:设系统结构如下图所示,系统初始状态为零,输入 r ( t ) = R ⋅ 1 ( t ) r(t)=R·1(t) r(t)=R⋅1(t);
根据上图,可列写系统的微分方程:
T c ¨ ( t ) + c ˙ ( t ) = K m ( t ) T\ddot{c}(t)+\dot{c}(t)=Km(t) Tc¨(t)+c˙(t)=Km(t)
m ( t ) = { k [ e ( t ) + Δ ] , e ( t ) ≤ − Δ 0 , ∣ e ( t ) ∣ < Δ k [ e ( t ) − Δ ] , e ( t ) ≥ Δ m(t)= \begin{cases} k[e(t)+\Delta],&e(t)≤-\Delta\\ 0,&|e(t)|<\Delta\\ k[e(t)-\Delta],&e(t)≥\Delta \end{cases} m(t)=⎩ ⎨ ⎧k[e(t)+Δ],0,k[e(t)−Δ],e(t)≤−Δ∣e(t)∣<Δe(t)≥Δ
取 e ( t ) , e ˙ ( t ) e(t),\dot{e}(t) e(t),e˙(t)作为状态变量,按特性曲线分区域列写微分方程:
- 区域Ⅰ: T e ¨ ( t ) + e ˙ + K k e = T r ¨ + r ˙ − K k Δ , e ≤ − Δ T\ddot{e}(t)+\dot{e}+Kke=T\ddot{r}+\dot{r}-Kk\Delta,e≤-\Delta Te¨(t)+e˙+Kke=Tr¨+r˙−KkΔ,e≤−Δ;
- 区域Ⅱ: T e ¨ ( t ) + e ˙ = T r ¨ + r ˙ , ∣ e ∣ < Δ T\ddot{e}(t)+\dot{e}=T\ddot{r}+\dot{r},|e|<\Delta Te¨(t)+e˙=Tr¨+r˙,∣e∣<Δ;
- 区域Ⅲ: T e ¨ ( t ) + e ˙ + K k e = T r ¨ + r ˙ + K k Δ , e ≥ Δ T\ddot{e}(t)+\dot{e}+Kke=T\ddot{r}+\dot{r}+Kk\Delta,e≥\Delta Te¨(t)+e˙+Kke=Tr¨+r˙+KkΔ,e≥Δ;
e = − Δ e=-\Delta e=−Δ和 e = Δ e=\Delta e=Δ为死区特性的转折点,亦为相平面的开关线;
代入 r ( t ) r(t) r(t)形式,因为 r ¨ ( t ) = r ˙ ( t ) = 0 \ddot{r}(t)=\dot{r}(t)=0 r¨(t)=r˙(t)=0,整理可得:
- 区域Ⅰ: T ( e + Δ ) ′ ′ + ( e + Δ ) ′ + K k ( e + Δ ) = 0 , e ≤ − Δ T(e+\Delta)^{\prime\prime}+(e+\Delta)^{\prime}+Kk(e+\Delta)=0,e≤-\Delta T(e+Δ)′′+(e+Δ)′+Kk(e+Δ)=0,e≤−Δ;
- 区域Ⅱ: T e ¨ + e ˙ = 0 , ∣ e ∣ < Δ T\ddot{e}+\dot{e}=0,|e|<\Delta Te¨+e˙=0,∣e∣<Δ;
- 区域Ⅲ: T ( e − Δ ) ′ ′ + ( e − Δ ) ′ + K k ( e − Δ ) = 0 , e ≥ Δ T(e-\Delta)^{\prime\prime}+(e-\Delta)^{\prime}+Kk(e-\Delta)=0,e≥\Delta T(e−Δ)′′+(e−Δ)′+Kk(e−Δ)=0,e≥Δ;
若给定参数 T = 1 , K k = 1 T=1,Kk=1 T=1,Kk=1,根据线性系统相轨迹分析结果,可得奇点类型:
- 区域Ⅰ:奇点 ( − Δ , 0 ) (-\Delta,0) (−Δ,0)为稳定焦点,相轨迹为向心螺旋线;
- 区域Ⅱ:奇点 ( x , 0 ) , x ∈ ( − Δ , Δ ) (x,0),x\in(-\Delta,\Delta) (x,0),x∈(−Δ,Δ),相轨迹沿直线收敛;
- 区域Ⅲ:奇点 ( Δ , 0 ) (\Delta,0) (Δ,0)为稳定焦点,相轨迹为向心螺旋线;
2.6 MATLAB/SIMULINK在相轨迹图绘制中的应用
2.6.1 实战1:采用MATLAB绘制相轨迹图
实验要求:已知一个二阶线性系统的微分方程为: x ¨ + a x = 0 , a > 0 , x ( t 0 ) = x 0 , x ˙ ( t 0 ) = x ˙ 0 \ddot{x}+ax=0,a>0,x(t_0)=x_0,\dot{x}(t_0)=\dot{x}_0 x¨+ax=0,a>0,x(t0)=x0,x˙(t0)=x˙0,其中: a = 2 a=2 a=2,使用 M A T L A B {\rm MATLAB} MATLAB函数绘制系统的相平面图和零输入响应曲线。
解:
取状态变量: x 2 = x , x 1 = x ˙ x_2=x,x_1=\dot{x} x2=x,x1=x˙,可得系统状态空间模型,即一阶常微分方程组:
{ x ˙ 2 = d x d t = x 1 x ˙ 1 = x ¨ = − a x 2 \begin{cases} &\dot{x}_2=\displaystyle\frac{
{\rm d}x}{
{\rm d}t}=x_1\\\\ &\dot{x}_1=\ddot{x}=-ax_2 \end{cases} ⎩
⎨
⎧x˙2=dtdx=x1x˙1=x¨=−ax2
% 实例Chapter10.2.6.1子函数
% derivativesFunc.m文件
function xdot=derivativesFunc(t,x) % 求取状态导数的函数
xdot=[-2*x(2);x(1)];
% 实例Chapter10.2.6.1主函数
clc;clear;
% 初始化状态变量为:[0,1],计算时间为:[0,20];
[t,x]=ode45('derivativesFunc',[0,20],[0,1]);
% 初始化状态变量为:[1,1],计算时间为:[0,20];
[t1,x1]=ode45('derivativesFunc',[0,20],[1,1]);
% 绘制相轨迹,相轨迹中的两条
figure(1);
plot(x(:,1),x(:,2),'r',x1(:,1),x1(:,2),'b');
xlabel('x');ylabel('dx/dt');grid;
legend('x','x1');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('控制系统的相轨迹','FontSize',15);
% 绘制系统时域响应图
figure(2);
plot(t,x(:,2),'r',t1,x1(:,2),'b');
xlabel('t');ylabel('x(t)');grid;
legend('x','x1');
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('控制系统的时域响应图','FontSize',15);
【相轨迹图】
【系统时域响应图】
2.6.2 实战2:采用MATLAB绘制相轨迹图
实验要求:已知一个二阶非线性系统的微分方程为: x ¨ + ( x 2 − 1 ) x ˙ + x = 0 , x ( 0 ) = 2 , x ˙ ( 0 ) = 3 \ddot{x}+(x^2-1)\dot{x}+x=0,x(0)=2,\dot{x}(0)=3 x¨+(x2−1)x˙+x=0,x(0)=2,x˙(0)=3,使用 M A T L A B {\rm MATLAB} MATLAB函数绘制系统的相平面图。
解:
取状态变量: x 2 = x , x 1 = x ˙ x_2=x,x_1=\dot{x} x2=x,x1=x˙,得到系统状态方程模型,即一阶常微分方程组:
{ x ˙ 2 = d x d t = x 1 x ˙ 1 = x ¨ = x 1 ( 1 − x 2 2 ) − x 2 , { x 2 ( 0 ) = 2 x 1 ( 0 ) = 3 \begin{cases} &\dot{x}_2=\displaystyle\frac{
{\rm d}x}{
{\rm d}t}=x_1\\\\ &\dot{x}_1=\ddot{x}=x_1(1-x_2^2)-x_2 \end{cases},\begin{cases} &x_2(0)=2\\\\ &x_1(0)=3 \end{cases} ⎩
⎨
⎧x˙2=dtdx=x1x˙1=x¨=x1(1−x22)−x2,⎩
⎨
⎧x2(0)=2x1(0)=3
% 实例Chapter10.2.6.2子函数
% derivativesFunc2.m文件
function xdot=derivativesFunc2(t,x) % 求取状态导数的函数
xdot=[x(1)*(1-x(2)^2)-x(2);x(1)];
% 实例Chapter10.2.6.2主函数
clc;clear;
% 初始化状态变量为:[0,1],计算时间为:[0,20];
[t,x]=ode45('derivativesFunc2',[0,20],[3,2]);
% 绘制相轨迹
figure(1);
plot(x(:,1),x(:,2));
xlabel('x');ylabel('dx/dt');
axis([-4,4,-4,4]);grid;
set(findobj(get(gca,'Children'),'LineWidth',0.5),'LineWidth',1.5);
title('控制系统的相轨迹','FontSize',15);
2.6.3 实战3:采用SIMULINK绘制相轨迹图
实验要求:已知一个非线性控制系统如下图所示,输入为零初始条件,线性环节为: G ( s ) = K s ( T s + 1 ) G(s)=\displaystyle\frac{K}{s(Ts+1)} G(s)=s(Ts+1)K,其中: T = 1 , K = 4 , N T=1,K=4,N T=1,K=4,N为理想饱和非线性,其中: y = { − 0.2 , x < − 0.2 x , ∣ x ∣ ≤ 0.2 0.2 , x > 0.2 y=\begin{cases}&-0.2,&x<-0.2\\&x,&|x|≤0.2\\&0.2,&x>0.2\end{cases} y=⎩ ⎨ ⎧−0.2,x,0.2,x<−0.2∣x∣≤0.2x>0.2,系统的初始状态为 0 0 0,求:
- 在 e − e ˙ e-\dot{e} e−e˙平面上绘制相轨迹;
- 绘制 e ( t ) 、 c ( t ) e(t)、c(t) e(t)、c(t)的时间响应波形;
解:
取状态变量 e ( t ) e(t) e(t)和 e ˙ ( t ) \dot{e}(t) e˙(t),建立 S I M U L I N K {\rm SIMULINK} SIMULINK模型:
# SIMULINK模型建立
# 所需模块:
source模块库下的Step模块;
Sinks模块库下的Scope模块;
Sinks模块库下的XY Graph模块;
Math Operations模块库下的Add模块;
Continuous模块库下的Transfer Fcn模块;
Continuous模块库下的Derivative模块;
Discontinuties模块库下的Saturation模块;
# Saturation模块设置限幅[-0.2,0.2];
# Model Simulation Configuration Parameters/Solver中设置Type为"Fixed Step";
# "Fixed Step Size"设置为:0.05,"Stop Time"设置为40;
【相轨迹】
【 c ( t ) c(t) c(t)时间响应波形图】
【 e ( t ) e(t) e(t)时间响应波形图】