该系列博客主要讲述Matlab软件在自动控制方面的应用,如无自动控制理论基础,请先学习自动控制系列博文,该系列博客不再详细讲解自动控制理论知识。
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博客参考书籍:《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。
1.控制系统校正与综合基础
1.1 控制系统性能指标
1.1.1 性能指标概述
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控制系统的性能指标按照类型,可分为:
- 时域性能指标:稳态性能指标和动态性能指标;
- 频域性能指标:开环频域指标和闭环频域指标;
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控制系统性能指标分类如下:
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如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调节时间等时域特征量给出,一般采用根轨迹法进行设计;
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如果性能指标以相角裕度、幅值裕度等频域特征量给出,一般采用频域法进行设计;
1.1.2 二阶系统频域指标与时域指标的关系
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超调量 σ p \sigma_p σp:
σ p = e − π ζ / 1 − ζ 2 × 100 % \sigma_p={\rm e}^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\% σp=e−πζ/1−ζ2×100% -
调节时间 t s t_s ts:
t s = 3.5 ζ ω n , ω c t s = 7 tan γ t_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n},\omega_ct_s=\frac{7}{\tan\gamma} ts=ζωn3.5,ωcts=tanγ7 -
上升时间 t r t_r tr:
t r = π − arctan ( 1 − ζ 2 / ζ ) ω n 1 − ζ 2 t_r=\frac{\pi-\arctan(\sqrt{1-\zeta^2}/\zeta)}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} tr=ωn1−ζ2π−arctan(1−ζ2/ζ) -
谐振峰值 M r M_r Mr:
M r = 1 2 ζ 1 − ζ 2 , 0 ≤ ζ ≤ 2 2 M_r=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}},0≤\zeta≤\frac{\sqrt{2}}{2} Mr=2ζ1−ζ21,0≤ζ≤22 -
谐振频率 ω r \omega_r ωr:
ω r = ω n 1 − 2 ζ 2 \omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2} ωr=ωn1−2ζ2 -
闭环截止频率 ω b \omega_b ωb:
ω b = ω n 1 − 2 ζ 2 + 2 − 4 ζ 2 + 2 ζ 4 \omega_b=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2+\sqrt{2-4\zeta^2+2\zeta^4}} ωb=ωn1−2ζ2+2−4ζ2+2ζ4 -
相角裕度 γ \gamma γ:
γ = arctan 2 ζ 1 + 4 ζ 4 − 2 ζ 2 \gamma=\arctan\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}} γ=arctan1+4ζ4−2ζ22ζ -
开环截止频率 ω c \omega_c ωc:
ω c = ω n 1 + 4 ζ 4 − 2 ζ 2 \omega_c=\omega_n\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2} ωc=ωn1+4ζ4−2ζ2
1.2 控制系统校正概述
1.2.1 无源超前网络
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如果输入信号源的内阻为零,且输出端的负载阻抗为无穷大,则超前网络的传递函数为:
a G c ( s ) = 1 + a T s 1 + T s aG_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts} aGc(s)=1+Ts1+aTs
其中:
a = R 1 + R 2 R 2 > 1 , T = R 1 R 2 R 1 + R 2 C a=\frac{R_1+R_2}{R_2}>1,T=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}C a=R2R1+R2>1,T=R1+R2R1R2C
a a a称为分度系数, T T T称为时间常数;采用无源超前网络进行串联校正时,整个系统的开环增益要下降为原来的 1 a \displaystyle\frac{1}{a} a1,因此需要提高放大器增益加以补偿;
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改变 a 、 T a、T a、T的数值,超前网络的零、极点可在 s s s平面的负实轴上任意移动;
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无源超前网络 a G c ( s ) aG_c(s) aGc(s)的对数频率特性如下:
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超前网络对频率在 1 / ( a T ) 1/(aT) 1/(aT)至 1 / T 1/T 1/T之间的输入信号有明显的微分作用,在该频率范围内,输出信号相角比输入信号相角超前;
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在最大超前角频率 ω m \omega_m ωm处,具有最大超前角 φ m \varphi_m φm,且 ω m \omega_m ωm正好处于频率 1 / ( a T ) 1/(aT) 1/(aT)和 1 / T 1/T 1/T的几何中心;
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相关证明:
φ c ( ω ) = arctan a T ω − arctan T ω = arctan ( a − 1 ) T ω 1 + a T 2 ω 2 \varphi_c(\omega)=\arctan{aT\omega}-\arctan{T\omega}=\arctan{\frac{(a-1)T\omega}{1+aT^2\omega^2}} φc(ω)=arctanaTω−arctanTω=arctan1+aT2ω2(a−1)Tω
对 ω \omega ω求导并令其为零,可得最大超前角频率:
ω m = 1 T a \omega_m=\frac{1}{T\sqrt{a}} ωm=Ta1
根据条件,求最大超前角:
φ m = arctan a − 1 2 a = arcsin a − 1 a + 1 \varphi_m=\arctan\frac{a-1}{2\sqrt{a}}=\arcsin\frac{a-1}{a+1} φm=arctan2aa−1=arcsina+1a−1
最大超前角 φ m \varphi_m φm仅与分度系数 a a a有关; a a a值越大,超前网络的微分效应越强;为了保持较高的系统信噪比,实际选用的 a a a值一般不超过20;ω m \omega_m ωm处的对数幅频值:
L c ( ω m ) = 20 lg ∣ a G c ( j ω m ) ∣ = 10 lg a L_c(\omega_m)=20\lg|aG_c({\rm j}\omega_m)|=10\lg{a} Lc(ωm)=20lg∣aGc(jωm)∣=10lga
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1.2.2 无源滞后网络
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如果输入信号源的内阻为零,负载阻抗为无穷大,滞后网络的传递函数为:
G c ( s ) = 1 + b T s 1 + T s G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts} Gc(s)=1+Ts1+bTs
其中:
b = R 2 R 1 + R 2 < 1 , T = ( R 1 + R 2 ) C b=\frac{R_2}{R_1+R_2}<1,T=(R_1+R_2)C b=R1+R2R2<1,T=(R1+R2)C
b b b称为滞后网络的分度系数,表示滞后深度; -
滞后网络在频率 1 / T 1/T 1/T至 1 / ( b T ) 1/(bT) 1/(bT)之间呈积分效应,对数相频特性成滞后特性;
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最大滞后角 φ m \varphi_m φm发生在最大滞后角频率 ω m \omega_m ωm处,且 ω m \omega_m ωm正好是 1 / T 1/T 1/T与 1 / ( b T ) 1/(bT) 1/(bT)的几何中心;
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计算 ω m 、 φ m \omega_m、\varphi_m ωm、φm的公式:
ω m = 1 T b , φ m = arcsin 1 − b 1 + b \omega_m=\frac{1}{T\sqrt{b}},\varphi_m=\arcsin\frac{1-b}{1+b} ωm=Tb1,φm=arcsin1+b1−b -
滞后网络对低频有用信号不产生衰减,对高频噪声信号有削弱作用, b b b值越小,通过网络的噪声电平越低;
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采用无源滞后网络进行串联校正时,主要利用其高频幅值衰减的特性,以降低系统的开环截止频率,提高系统的相角裕度;因此,力求避免最大滞后角发生在已校正系统开环截止频率 ω c ′ ′ \omega''_c ωc′′附近;选择滞后网络参数时,通常使网络的交接频率 1 / ( b T ) 1/(bT) 1/(bT)远小于 ω c ′ ′ \omega_c'' ωc′′,一般取:
1 b T = ω c ′ ′ 10 \frac{1}{bT}=\frac{\omega_c''}{10} bT1=10ωc′′
1.2.3 无源滞后-超前网络
- 无源滞后-超前传递函数:
G c ( s ) = ( 1 + T a s ) ( 1 + T b s ) T a T b s 2 + ( T a + T b + T a b ) s + 1 G_c(s)=\frac{(1+T_as)(1+T_bs)}{T_aT_bs^2+(T_a+T_b+T_{ab})s+1} Gc(s)=TaTbs2+(Ta+Tb+Tab)s+1(1+Tas)(1+Tbs)
其中:
T a = R 1 C 1 , T b = R 2 C 2 , T a b = R 1 C 2 T_a=R_1C_1,T_b=R_2C_2,T_{ab}=R_1C_2 Ta=R1C1,Tb=R2C2,Tab=R1C2
上式可写为:
G c ( s ) = ( 1 + T a s ) ( 1 + T b s ) ( 1 + T 1 s ) ( 1 + T 2 s ) G_c(s)=\frac{(1+T_as)(1+T_bs)}{(1+T_1s)(1+T_2s)} Gc(s)=(1+T1s)(1+T2s)(1+Tas)(1+Tbs)
比较式(9)和式(10),可得:
T 1 T 2 = T a T b , T 1 + T 2 = T a + T b + T a b T_1T_2=T_aT_b,T_1+T_2=T_a+T_b+T_{ab} T1T2=TaTb,T1+T2=Ta+Tb+Tab
设
T 1 > T a , T a T 1 = T 2 T b = 1 α , α > 1 T_1>T_a,\frac{T_a}{T_1}=\frac{T_2}{T_b}=\frac{1}{\alpha},\alpha>1 T1>Ta,T1Ta=TbT2=α1,α>1
则有:
T 1 = α T a , T 2 = T 2 α T_1=\alpha{T_a},T_2=\frac{T_2}{\alpha} T1=αTa,T2=αT2
无源滞后-超前网络的传递函数最终形式:
G c ( s ) = ( 1 + T a s ) ( 1 + T b s ) ( 1 + α T a s ) ( 1 + T b α s ) G_c(s)=\frac{(1+T_as)(1+T_bs)}{(1+\alpha{T_as})(1+\frac{T_b}{\alpha}s)} Gc(s)=(1+αTas)(1+αTbs)(1+Tas)(1+Tbs)
其中: ( 1 + T a s ) / ( 1 + α T a s ) (1+T_as)/(1+\alpha{T_as}) (1+Tas)/(1+αTas)为网络的滞后部分; ( 1 + T b s ) / ( 1 + T b s / α ) (1+T_bs)/(1+T_bs/\alpha) (1+Tbs)/(1+Tbs/α)为网络的超前部分;
1.2.4 串联校正和反馈校正
- 串联校正:校正装置一般接在误差测量点后放大器前,串接于系统前向通道之中;
- 反馈校正:校正装置接在系统局部反馈通路之中;
1.2.5 前馈校正
- 前馈校正(顺馈校正):在系统主反馈回路之外采用的校正方式;前馈校正装置接在系统给定值后及主反馈作用点前的前向通道上;
- 图 ( a ) {\rm (a)} (a):这种校正装置作用相当于对给定值信号进行整形或滤波后,再送入反馈系统,因此亦称前置滤波器;
- 图 ( b ) \rm {(b)} (b):这种校正装置接在系统可测扰动作用点与误差测量点之间,对扰动信号进行直接或间接测量,经变换后接入系统,形成一条附加的对扰动影响进行补偿的通道;
1.2.6 复合校正
- 复合校正:在反馈控制回路中,加入前馈校正通路,组成一个有机整体,结构如下图两种形式。