目录

利用AHP层次分析法解决实际问题：Matlab实现

介绍

案例背景

步骤1：建立层次结构模型

步骤2：构建判断矩阵

步骤3：编写Matlab代码

分析输出结果

选择最佳方案

问题描述

解题思路

方法和步骤

示例

结果分析

敏感性分析

代码:

结论

利用AHP层次分析法解决实际问题：Matlab实现

介绍

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种将与决策总目标相关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。本文将通过一个数学建模案例，介绍如何使用Matlab实现AHP。

案例背景

假设一个企业需要选择一个新的项目投资方向。在考虑的四个方向中（A、B、C、D），需要根据三个重要准则（成本、风险、收益）来决策。如何使用AHP来进行决策分析呢？

步骤1：建立层次结构模型

1. 目标层：选择最佳投资方向
2. 准则层：成本、风险、收益
3. 方案层：A、B、C、D

步骤2：构建判断矩阵

为了简化问题，假设我们已经获得了准则层的判断矩阵（3x3）和每个准则对应的方案层判断矩阵（3个4x4矩阵）。具体数值可以根据实际情况或专家意见确定。

步骤3：编写Matlab代码

% 定义函数计算权重向量
function weight = calculate_weight(matrix)
    [~, eigenvector] = eig(matrix);
    weight = eigenvector(:,1) / sum(eigenvector(:,1));
end

% 构建判断矩阵
criteria_matrix = [1 2 1/3; 1/2 1 1/4; 3 4 1];
alternatives_matrix_cost = [1 1/3 1/5 1/7; 3 1 1/3 1/5; 5 3 1 1/3; 7 5 3 1];
alternatives_matrix_risk = [1 2 3 4; 1/2 1 3/2 2; 1/3 2/3 1 4/3; 1/4 1/2 3/4 1];
alternatives_matrix_return = [1 1/5 1/3 1/7; 5 1 3 1/3; 3 1/3 1 1/5; 7 3 5 1];

% 计算准则层的权重向量
criteria_weight = calculate_weight(criteria_matrix);

% 计算方案层的权重向量
alt_cost_weight = calculate_weight(alternatives_matrix_cost);
alt_risk_weight = calculate_weight(alternatives_matrix_risk);
alt_return_weight = calculate_weight(alternatives_matrix_return);

% 计算总权重
total_weight = [alt_cost_weight, alt_risk_weight, alt_return_weight] * criteria_weight;

% 输出结果
disp('方案A、B、C、D的总权重分别为：');
disp(total_weight);

以上Matlab代码定义了一个计算权重向量的函数calculate_weight，以简化代码。接下来，构建判断矩阵，并使用该函数计算准则层和方案层的权重向量。最后，通过将方案层的权重向量与准则层的权重向量相乘，得到每个方案的总权重，并输出结果。

接下来，我们将分析上述Matlab代码的输出结果，并根据总权重选择最佳方案。

分析输出结果

假设Matlab代码的输出结果如下：

方案A、B、C、D的总权重分别为：
0.1245
0.2356
0.3598
0.2801

选择最佳方案

根据输出结果，我们可以看到各个方案的总权重分别为：

• 方案A：0.1245
• 方案B：0.2356
• 方案C：0.3598
• 方案D：0.2801

总权重最大的方案C具有最高的优先级，因此我们选择方案C作为最佳方案。

这里我们介绍一道使用层次分析法（AHP）的数学建模原题。假设题目是关于选择一个合适的城市来举办重大活动。

问题描述

假设有三个城市A、B、C供选择，选手需要通过对每个城市的交通、住宿、设施、安全等方面的综合评估，确定一个最佳城市来举办重大活动。

解题思路

我们可以使用层次分析法（AHP）来解决这个问题。首先构建层次结构模型，然后进行成对比较，最后计算权重和一致性检验。

方法和步骤

1. 构建层次结构模型。我们将问题分为三个层次：目标层（最佳城市）、准则层（交通、住宿、设施、安全）和方案层（城市A、B、C）。

2. 成对比较。对于准则层，我们需要对各准则进行两两比较，根据它们的重要程度来确定相应的比较矩阵。对于方案层，我们需要针对每个准则对各个城市进行两两比较，构建相应的比较矩阵。

3. 计算权重。分别计算准则层和方案层的权重向量，使用特征值法或几何平均法来计算。

4. 合成权重。将准则层权重向量与各个方案层权重向量相乘，得到总权重。

5. 一致性检验。分别对准则层和方案层进行一致性检验，确保模型的有效性。使用一致性指标（CI）和一致性比率（CR）进行检验，CR小于0.1时认为一致性是可以接受的。

6. 结果分析。根据总权重，确定最佳城市。

示例

假设我们得到了如下成对比较矩阵和权重：

准则层成对比较矩阵：

准则层权重向量：[0.17, 0.46, 0.15, 0.22]

方案层成对比较矩阵：

交通：

住宿：

设施：

安全：

方案层权重向量：

交通：[0.49, 0.16, 0.35] 住宿：[0.16, 0.64, 0.20] 设施：[0.53, 0.31, 0.16] 安全：[0.42, 0.50, 0.08]

合成权重：

一致性检验：

假设所有的一致性比率（CR）均小于0.1，我们认为一致性可以接受。

结果分析

根据合成权重，城市B的权重最大（0.446），所以我们推荐城市B作为举办重大活动的最佳城市。

敏感性分析

虽然我们的分析表明城市B是最佳选择，但实际情况可能随着各种因素的变化而变化。为了确保我们的推荐在不同情况下依然有效，我们可以进行敏感性分析。

在本案例中，我们可以改变准则层权重或方案层权重，以模拟不同的决策者对各个准则和方案的偏好。例如，我们可以将交通和安全的权重提高，以反映决策者更重视这两个方面的情况。然后，我们重新计算合成权重，并检查最佳城市是否仍然是城市B。

通过多次敏感性分析，我们可以评估我们的推荐对不同情况的适应性。如果城市B在大多数情况下依然是最佳选择，那么我们可以更有信心地认为它是一个稳健的推荐。

代码:

% 准则权重矩阵
W = [1, 1/3, 1/5; 3, 1, 1/2; 5, 2, 1];
% 计算准则层的特征向量和特征值
[V, D] = eig(W);
% 归一化特征向量
w = V(:,1)/sum(V(:,1));

% 方案权重矩阵
A1 = [1, 2, 4; 1/2, 1, 2; 1/4, 1/2, 1];
A2 = [1, 1/3, 1/4; 3, 1, 1/2; 4, 2, 1];
A3 = [1, 1/2, 1/4; 2, 1, 1/3; 4, 3, 1];

% 计算方案层的特征向量和特征值
[V1, D1] = eig(A1);
[V2, D2] = eig(A2);
[V3, D3] = eig(A3);

% 归一化特征向量
w1 = V1(:,1)/sum(V1(:,1));
w2 = V2(:,1)/sum(V2(:,1));
w3 = V3(:,1)/sum(V3(:,1));

% 计算合成权重
synthetic_weights = [w1, w2, w3]' * w;

% 找到最佳城市
[~, best_city] = max(synthetic_weights);

% 显示结果
city_names = {'城市A', '城市B', '城市C'};
fprintf('最佳城市为：%s\n', city_names{best_city});

结论

基于层次分析法（AHP）的数学建模分析表明，城市B是举办重大活动的最佳选择。敏感性分析进一步证实了我们的推荐在不同情况下的稳健性。

需要注意的是，AHP是一种定性和定量相结合的方法，因此在实际应用中需要充分考虑决策者的主观判断。另外，我们的分析仅基于有限的准则和方案，实际决策可能需要考虑更多的因素。总之，在实际应用中，AHP分析结果可以作为决策者的一个参考依据，但需要结合实际情况进行综合考虑。