一、什么叫分离参数法？

还是用例子说比较好些。

(2018宝鸡市二检理科第10题)关于\(x\)的方程\(\sqrt{3}sin2x+cos2x-k-1=0\)在\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)内有两个实数根，则\(k\)的取值范围是()。

A.\((1,2)\) \(\hspace{2cm}\) B.\([0,2)\) \(\hspace{2cm}\) C.\([0,1)\) \(\hspace{2cm}\) D.\([-2,1)\)

遇到这样的题目，我们一般是这样做的，先转化为\(k+1=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})，x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)，

然后分别作出函数\(y=k+1\)和函数\(y=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})，x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)的图像，

利用图像就可以知道，要使得两个函数有两个交点，需要满足\(1\leq k+1<2\)，解得\(0\leq k<1\)，故选C。

上述变形中，当将原方程转化为\(k+1=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，就已经将参数和自变量分离开了，这样的方法自然就叫分离参数法。

二、为什么要用分离参数法？

还是用上例说事，像这样的方程由于含有\(sin2x\)等，我们就称为超越方程，意思是不能像解\(x^2+3x+2=0\)这样的代数方程一样把她解出来。从数的角度行不通，那就只能考虑从形的角度了，如果我们设函数为\(y=\sqrt{3}sin2x+cos2x-k-1\)，那么这个函数就不太好作图，但是如果分离成\(k+1=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，则原方程的实数根的个数问题，就自然转化为两个函数\(y=k+1\)和\(y=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)的图像的交点的个数问题了，而且这两个函数的图像都很好作图，一下子就把问题的难度降下来了。通过这个例子，我们初步体会了分离常数法的优越性。

三、何时使用这一方法？（使用范围）

再看个题目的解答，然后我们回答这个问题。

\(\fbox{例1}\)(2017西安模拟)
已知函数\(f(x)=kx^2-lnx\)有两个零点，求参数\(k\)的取值范围。

A、\(k>\cfrac{e}{2}\) \(\hspace{2cm}\) B、\(0<k<\sqrt{e}\) \(\hspace{2cm}\) C、\(k>\cfrac{\sqrt{2}e}{2}\) \(\hspace{2cm}\) D、 \(0<k<\cfrac{1}{2e}\)

分析：函数的定义域为\((0，+\infty)\)，由函数\(f(x)=kx^2-lnx\)有两个零点，

转化为方程\(kx^2=lnx\)有两个不同的实数根，

再转化为\(k=\cfrac{lnx}{x^2}\)有两个不同的实数根，

再转化为函数\(y=k\)和函数\(y=g(x)=\cfrac{lnx}{x^2}\)的图像有两个不同的交点，

用导数研究函数\(g(x)\)的单调性，

\(g'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}\cdot x^2-lnx\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{1-2lnx}{x^3}\)，

令\(1-2lnx>0\)，得到\(0<x<\sqrt{e}\)，令\(1-2lnx<0\)，得到\(x>\sqrt{e}\)，

即函数\(g(x)\)在区间\((0，\sqrt{e}]\)上单调递增，在\([\sqrt{e}，+\infty)\)上单调递减，

故\(g(x)_{max}=g(\sqrt{e})=\cfrac{1}{2e}\)，

作出函数\(g(x)\)和函数\(y=k\)的简图，由图像可得\(k\)的取值范围是\(k\in(0，\cfrac{1}{2e})\)。

从上述的解法中(当然本题还有其他的解法)，我们体会到，如果一个数学题目从数的角度直接来求解，结果很有可能要么不会求解，要么解不出，更或者没有思路；此时若换个角度思考，从形入手分析，将参数或含有参数的代数式(比如\(k+1\))和自变量分别放置在等号的两端，即\(k=f(x)\)的形式，然后数的问题就转化为形的问题了，从而直观快捷，思路简单明了。一句话，从形的角度解题的前提就是施行分离参数的方法。

四、常见的分离参数的方法都有哪些？

①常规法分类参数：如\(\lambda f(x)=g(x)\rightarrow \lambda=\cfrac{g(x)}{f(x)}\)；

②倒数法分离参数：如\(\lambda f(x)=g(x)\Rightarrow \lambda=\cfrac{g(x)}{f(x)}\)；

③讨论法分离参数：如\(\lambda f(x)\ge g(x)\)；

④整体法分离参数：如\(\lambda^2+2\lambda=f(x)\)；

⑤不完全分离参数法：如\(\cfrac{b}{x}=lnx+x-x^2\)；

⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数；

五、什么时候不用这一方法（局限性）

但是，不是所有的含参问题都适合分离参数，比如\(ax^2-a^2x+3<0\)在区间\([1,2]\)上恒成立，求\(a\)的范围，

那就不能用分离参数的方法，因为你没法将参数和自变量有效的分开，所以此时你可能需要借助二次函数的图像来考虑，而不是一味的使用分离参数法。

一般来说，以下的一些情形都不适合使用分离参数法：

(1)不能将参数和自变量有效的分离开的；

比如，已知方程\(e^{-x}=ln(x+a)\)在\(x>0\)时有解，求参数的取值范围；

本题目就不能将参数和自变量有效的分离开的，

此时我们就可以考虑用数形结合的思路求解。解法

(2)如果参数的系数能取到正、负、零三种情形的，

引例，已知函数\(f(x)=x^2+ax-2a\ge 0\)对\(x\in [1，5]\)上恒成立，求参数\(a\)的取值范围。

如果用分离参数的方法，则先转化为\((x-2)a\ge -x^2，x\in [1，5]\)

接下来就转化成了三个恒成立的命题了，不管会不会做，从效率上都已经很不划算了。

当\(x=2\)时，原不等式即\((2-2)a\ge -4\)，\(a\in R\)都符合题意；

当\(2<x<5\)时，原不等式等价于\(a\ge \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立；

\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\leq 2\sqrt{(x-2)\cdot \cfrac{4}{x-2}}-4=-8\)

求得当\(x=4\)时，\(g(x)_{max}=-8\)，故\(a\ge -8\)

当\(1<x<2\)时，原不等式等价于\(a\leq \cfrac{-x^2}{x-2}=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4=g(x)\)恒成立；

\(g(x)=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\ge 2\sqrt{-(x-2)\cdot \cfrac{-4}{x-2}}-4=0\)

当且仅当\(x=0\)时取到等号，并不满足前提条件\(1<x<2\)，故是错解。

此时需要借助对勾函数的单调性，函数\(y=x+\cfrac{4}{x}\)在区间\([1，2]\)上单调递增，

那么\(y=x-2+\cfrac{4}{x-2}\)在区间\([1，2]\)上单调递减，

\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}\)在区间\([1，2]\)上单调递增，\(y=-(x-2)-\cfrac{4}{x-2}-4\)在区间\([1，2]\)上单调递增，

故\(g(x)_{min}=g(1)=1\)，故\(a\leq 1\)

以上三种情况取交集(由于是针对自变量分类讨论的，要求不管什么情况下都必须恒成立，故最后必须求交集)，得到\(a\in [-8，1]\)。

很明显，这时候就将一个题目做成了三个题目，从效率上很不划算。

那么，该怎么做呢?

注意到函数\(f(x)=x^2+ax-2a\)是二次函数，故可以利用二次函数来求解。

①由于\(\Delta=a^2+8a≤0\)时满足题意,解得\(-8≤a≤0\)；

再考虑对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\)和给定区间\([1,5]\)的相对位置关系

②当\(-\cfrac{a}{2}≤1\)时，即\(a≥-2\)时，函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递增，

所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2a≥0\),解得\(-2≤a≤1\)，又因为\(a≥-2\)，所以得到\(-2≤a≤1\)；

③当\(-\cfrac{a}{2}≥5\)时，即\(a≤-10\)时，函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递减，

所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2a≥0\)，解得\(a≥-\cfrac{25}{3}\)，又因为\(a≤-10\)，所以得到\(a\in\varnothing\)；

④当\(1<-\cfrac{a}{2}<5\)，即\(-10<a<-2\)时，\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2a≥0\)，

得到\(-8≤a≤0\),又\(-10<a<-2\)，所以\(-8≤a<-2\)（这种情形可以省略）

综上可得\(a\)的取值范围是\([-8,1]\)

(3)分离参数后，得到的新函数变得复杂无比的；

比如函数\(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)有唯一的零点，

分离参数后，得到\(a=\cfrac{-x^2+2x}{e^{x-1}+e^{-x+1}}=h(x)\)，

你确信你能用研究清楚函数\(h(x)\)的性质，并用手工做出函数的图像吗？

省省吧，您呐。

(4)分离参数后，得到的新函数中有\(sinx\)和\(cosx\)的，他们都有无穷阶导数，所以求导会一直做下去，一般不会使得函数式变得简单。

比如已知\(2a-1+sin2x+a(sinx-cosx)\ge 0\)在\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)上恒成立，

接下来的思路有：

思路一：分离参数，当分离为\(a\ge \cfrac{1-sin2x}{2+sinx-cosx}=g(x)\)时，你会发现，求函数\(g(x)_{max}\)很难，所以放弃；

思路二：链接

六、具体题目中的常见的分离参数的角度或策略：

已知函数\(f(x)=x^2-ax\)，\(g(x)=mx+nlnx\)，函数\(f(x)\)的图像在点\((1，f(1))\)处的切线的斜率为\(1\)，函数\(g(x)\)在\(x=2\)处取到极小值\(2-2ln2\)；

(1)求函数\(f(x)\)与\(g(x)\)的解析式；

分析：由题可知\(f'(x)=2x-a\)，又\(f'(1)=2-a=1\)，解得\(a=1\)，即\(f(x)=x^2-x\)；

又\(g'(x)=m+\cfrac{n}{x}\)，由\(g'(2)=m+\cfrac{n}{2}=0\)及\(g(2)=2m+nln2=2-2ln2\)，解得\(m=1，n=-2\)，即\(g(x)=x-2lnx\)；

(2)已知函数\(f(x)+g(x)\ge x^2-\lambda(x-1)\)对任意的\(x\in(0，1]\)恒成立，求实数\(\lambda\)的取值范围。

分析：由于\(f(x)+g(x)=x^2-2lnx\)，则\(x^2-2lnx\ge x^2-\lambda(x-1)\)对任意的\(x\in(0，1]\)恒成立，可以有以下的思路：

法1：先令\(h(x)=\lambda(x-1)-2lnx\)，则问题转化为\(h(x)\ge 0\)对任意的\(x\in(0，1]\)恒成立，

\(h'(x)=\lambda-\cfrac{2}{x}=\cfrac{\lambda x-2}{x}\)

当\(\lambda\leq 0\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)在区间\((0，1]\)上单调递减，

\(h(x)_{min}=h(1)=0\)，即\(h(x)\ge 0\)恒成立；

当\(0<\lambda \leq 2\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)在区间\((0，1]\)上单调递减，

\(h(x)_{min}=h(1)=0\)，即\(h(x)\ge 0\)恒成立；

当\(\lambda>2\)时，\(h'(x)<0\)在\((0，\cfrac{2}{\lambda})\)上恒成立，\(h'(x)>0\)在\((\cfrac{2}{\lambda}，1)\)上恒成立，

即\(h(x)\)在\((0，\cfrac{2}{\lambda})\)单调递减，在\((\cfrac{2}{\lambda}，1)\)上单调递增，

所以\(h(\cfrac{2}{\lambda})<h(1)=0\)，故不满足题意，注意\(h(1)=0\)，即函数\(h(x)\)恒过点\((1，0)\)

综上所述，实数\(\lambda\)的取值范围为\((-\infty，2]\)。

法2：先转化为\(\lambda(x-1)\ge 2lnx\)对任意的\(x\in(0，1]\)恒成立，

当\(x=1\)时，\(\lambda\cdot 0\ge 2ln1=0\)，\(\lambda\in R\)；

当\(x\in (0，1)\)时，分离参数得到\(\lambda \leq \cfrac{2lnx}{x-1}\)；令\(h(x)= \cfrac{2lnx}{x-1}\)，

\(h'(x)=\cfrac{\cfrac{2}{x}(x-1)-2lnx}{(x-1)^2}=\cfrac{2(1-\cfrac{1}{x}-lnx)}{(x-1)^2}\)；

令\(m(x)=1-\cfrac{1}{x}-lnx\)，则\(m'(x)=\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1-x}{x^2}\)，

则\(m'(x)>0\)，则\(m(x)\)在\((0，1)\)上单调递增，故\(m(x)<m(1)=0\)，故\(h'(x)=\cfrac{2m(x)}{(x-1)^2}<0\)，

则\(h(x)\)在\((0，1)\)上单调递减，故\(h(x)>h(1)=2\)(由洛必达法则求得)，即\(\lambda\leq 2\)

综上所述求交集得到，\(\lambda \in(-\infty，2]\)。

法3：带参分析法，由\(\lambda(x-1)\ge 2lnx\)对任意的\(x\in(0，1]\)恒成立，

做函数\(y=\lambda(x-1)\)和函数\(y=2lnx\)的图像，示意图

设直线\(y=\lambda(x-1)\)与曲线\(y=2lnx\)相切于点\((x_0，y_0)\)，则有\(\cfrac{2}{x_0}=\lambda\)，\(y_0=2lnx_0\)，\(y_0=\lambda(x_0-1)\)，

求得切点坐标\((1，0)\)，此时\(\lambda=2\)，由\(\lambda\)的几何意义可知，\(\lambda\)的取值范围是\((-\infty，2]\)。

七、常用于哪些题型？相关联方法有什么？需要注意什么问题？

• 分离常数法，一般常用于恒成立、能成立问题，以及函数与方程的经常相互转化的题型中。

• 分离参数时，尽可能的使函数形式简单，这样求导数判断单调性就简单些，而参数形式复杂些或者简单些都无所谓，

比如方程\((2-a)x-2(1+lnx)+a=0\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上无解，求参数的最小值。

转化一：\(a=\cfrac{2+2lnx-2x}{1-x}=h(x)\)；

转化二：\(\cfrac{2-a}{2}=\cfrac{lnx}{x-1}=h(x)\)，

我们看到第二种转化就比第一种转化划归要好的多。

• 和分段函数有关的分离参数的技巧；

如函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+4x，x\leq 0\\xlnx，x>0\end{cases}\)，\(g(x)=kx-1\)，若方程\(f(x)-g(x)=0\)在\(x\in(-2，2)\)有三个实根，则实数\(k\)的取值范围是【】

A.\((1，ln2\sqrt{e})\;\;\;\;\;\) B.\((ln2\sqrt{e}，\cfrac{3}{2})\;\;\;\;\;\) C.\((\cfrac{3}{2}，2)\;\;\;\;\;\) D.\((1，ln2\sqrt{e})\cup(\cfrac{3}{2}，2)\;\;\;\;\;\)

分析：显然\(x=0\)不是方程\(f(x)-g(x)=0\)的根，故可变形为\(k=\cfrac{f(x)+1}{x}\)，

设\(\phi(x)=\cfrac{f(x)+1}{x}=\begin{cases}x+\cfrac{1}{x}+4，x<0\\\cfrac{1}{x}+lnx，x>0\end{cases}\)，即\(k=\phi(x)\)在\(x\in(-2，2)\)有三个实根，

用导数方法研究函数\(\phi(x)\)的单调性，做出其图像；

由图像可得，要使得函数\(y=k\)与函数\(y=\phi(x)\)有三个交点，则\(k\in (1，ln2\sqrt{e})\cup(\cfrac{3}{2}，2)\)