信息率失真函数的性质

1. R(D) 是非负的实数, $\mathrm{R}(\mathrm{D})\ge 0$ 。

   其定义域为 $0-{\mathbf{D}}_{\text{max }}$ , 其值为 $0\sim \mathbf{H}(\mathrm{X})$ 。当 $D>D_{\text{max }}$ 时, $R(D)\equiv 0$

2. R(D) 是关于 $\mathrm{D}$ 的下凸函数

   R(D) 在定义域内是失真度 $\mathrm{D}$ 的 $\mathrm{U}$ 型下凸函数

3. R(D) 的单调递减性及连续性

   容许的失真度越大, 所要求的信息率越小。反之亦然。

率失真函数的单调递减和连续性

R(D) 的非增性也容易理解。允许的失真越大 $\to$ 信息率越小。

• 根据率失真函数的定义，它是在平均失真度小于或等于允许的平均失真度 D 的所有信道集合 $B_D$ 中，取平均互信 息的最小值。
• 当允许失真度扩大， $B_D$ 集合也扩大，这时在扩大的 ${\mathbf{B}}_D$ 集合中找最小值，显然这最小值或者不变，或者变小，所以R(D) 是非增的。

根据上述性质, 可以画出率失真函数的一般形式, 如下图示。

图中 $R(0)=H(X)$, $R\left(D_{\max }\right)=0$ , 决定了曲线边缘上的两个点。而 在 0 和 $D_{\text{max }}$ 之间, R(D) 是单调递减的下凸函数。

在连续信源情况下, 当 $D\to 0$ 时, $R(D)\to \infty$ , 曲线将不与 R(D) 轴相交。

关于信息率失真函数的说明:

通常我们总希望信息通过信道传输时输入与输出之间的互信息最大，是在信道给定情况下的要求。而这里是在信源给定而不是信道给定条件下传输。信息率失真理论要解决的问题就是计算满足失真要求的传输所需的最小信道容量或传输速率，以达到降低信道的复杂度和通信成本的目的。

实现限失真信源编码的方式

适应信源方式:认识信源的实际客观概率统计特性，寻找适应此类概率统计特性的编码方法。

改造信源方式:改造信源的客观统计特性，即解除实际信源消息序列各消息间的统计相关性，使之成为无记忆信源，进而采用预测编码和变换编码。

参考文献：

1. Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
2. Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
3. 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
4. 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.

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