【数据结构】基于树的查找法——B树（C语言）

1. m路查找树

与二叉排序树类似，可以定义一种“m叉排序树”，通常称为m路查找树。
一棵m路查找树，或者是一棵空树，或者是满足如下性质的树：
① 结点最多有m棵子树，m-1个关键字，其结点结构如下图所示：

其中，n为关键字的个数，Pi(0<=i<=n)为指向子树根结点的指针，Ki(1<=i<=n)为关键字。
② Ki<Ki+1，1<=i<=n-1
③ 子树Pi中的所有关键字均大于Ki且小于Ki+1，1<=i<=n-1
④ 子树P0中的关键字均小于K1，而子树Pn中的所有关键字均大于Kn
⑤ 子树Pi也是m路查找树，0<=i<=n
3路查找树

2. B树

一棵B树是一棵平衡的m路查找树，它或者是空树，或者是满足如下性质的树：
① 树中每个结点最多有m棵子树。
② 根结点至少有两棵子树。
③ 除根结点之外的所有非叶结点至少有⌈m/2⌉棵子树。
④ 所有的叶结点出现在同一层上，并且不含信息，通常称为失败结点。失败结点为虚结点，在B树中并不存在，指向它们的指针为空指针。引入失败结点是为了便于分析B树的查找性能。

B树结点结构：

typedef int KeyType;
/*B树结点存储结构*/
typedef struct Mbtnode {
    
    
	struct Mbtnode* parent;		//指向双亲结点的指针
	int keynum;					//结点关键字个数
	KeyType key[m + 1];			//存放结点关键字
	struct Mbtnode* ptr[m + 1];	//指向子树的指针
}Mbtnode, * Mbtree;

问题1：具有n个非叶结点的m阶B树，至少含有多少个关键字？
分析：根据m阶B树的定义，根结点至少有两棵子树和一个关键字，除根结点之外的所有非叶结点，每个结点至少有⌈m/2⌉棵子树和⌈m/2⌉-1个关键字。综上，具有n个非叶结点的m阶B树至少含有 1+(⌈m/2⌉-1)*(n-1) 个关键字。
问题2：已知一棵3阶B树中含有2047个关键字，那么包含叶子结点（失败结点）层，该树的最大深度是多少？
分析：根据m阶B树的定义，3阶B树的根结点至少有两棵子树，除根结点之外的所有非叶结点，每个结点至少有⌈m/2⌉=2棵子树，所以该3阶B树的所有非叶结点对应一棵满二叉树，每一个结点中有一个关键字，共有2047个关键字，所以共有2047个结点，其深度为⌊log2 2047⌋+1=11，加上失败结点，最大深度为12。

3. B树查找

4阶B树

对于上图所示的4阶B树，查找过程如下：
① 查找58：由根结点指针mbt找到根结点A → 58>37，找到结点C → 40<58<85，找到结点G → 在G中找到58
② 查找32：由根结点指针mbt找到根结点A → 32<37，找到结点B → 32>25，找到结点E → 30<32<35，找到失败结点f → 查找失败

/*寻找结点中小于等于key的最大关键字序号*/
int Search(Mbtree mbt, KeyType key) {
    
    
	int i = 1;
	while (i <= mbt->keynum && mbt->key[i] <= key)
		i++;
	return (i - 1);						//返回小于等于key的最大关键字序号，为0时表示应到最左分支找，越界时表示应到最右分支找
}

/*查找关键字为k的结点*/
int srch_mbtree(Mbtree mbt, KeyType k) {
    
    
	Mbtnode* p = mbt;
	int found = 0, i;
	while (p != NULL && !found) {
    
    
		i = Search(p, k);
		if (i > 0 && p->key[i] == k)	//查找成功，found置1
			found = 1;
		else							//k不在当前结点，查找下一结点
			p = p->ptr[i];
	}
	if (found) {
    
    
		return p->key[i];
	}
	else
		return NULL;
}

4. B树插入

3阶B树插入52 插入20-1 插入20-2 插入49-1 插入49-2 插入49-3

5. B树删除

5.1 在最下层结点中删除一个关键字
下图为一棵4阶B树：

① 当最下层结点中的关键字数目大于⌈m/2⌉-1时，可直接删除。
如删除11和53时，可直接删除，结果如下：
删除1
② 当最下层待删关键字所在结点中的关键字数目为最低要求⌈m/2⌉-1时，如果其左（右）兄弟中关键字数目大于⌈m/2⌉-1，则可采用“父子换位法”。
如删除39时，为保持其“中序有序”，可将父结点中43下移至39处，而将右兄弟中最左边的47上移至原43处，结果如下：
删除2
③ 当最下层待删关键字所在结点及其左（右）兄弟中的关键字数目均为最低要求⌈m/2⌉-1时，需要进行合并处理，合并过程与插入时的分裂过程“互逆”，合并一次，分支数少一，可能出现连锁合并，当合并到根时，各分支深度同时减1。
如删除64时，为保持各分支等长，将删除64后的剩余信息及78合并入右兄弟，结果如下：
删除3 ④ 删除27时，首先将剩余信息与父结点中的18并入左兄弟，并释放空结点。
此时父结点也需要合并，将父结点中的剩余信息（指针p1）与祖父结点中的35并入47左端。
至此，祖父结点仍需合并，但由于待合并结点的父指针为NULL，故停止合并，直接将根指针BT置为指针p2的值，释放空结点。
删除4
5.2 在非最下层结点中删除一个关键字
在下图所示4阶B树删除43、35过程：
① 删除43：在保持“中序有序”的前提下，可将43“右子树”中的最小值47顶替43，然后将原47删除。
② 删除35：用35“左子树”的“右下端”元素27代替35，然后再删除原27。
删除5
参考：耿国华《数据结构——用C语言描述（第二版）》

更多数据结构内容关注我的《数据结构》专栏：https://blog.csdn.net/weixin_51450101/category_11514538.html?spm=1001.2014.3001.5482