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开关灯
题目描述
假设有 N N N 盏灯( N N N 为不大于 5000 5000 5000 的正整数),从 1 1 1 到 N N N 按顺序依次编号,初始时全部处于开启状态;第一个人( 1 1 1 号)将灯全部关闭,第二个人( 2 2 2 号)将编号为 2 2 2 的倍数的灯打开,第三个人( 3 3 3 号)将编号为 3 3 3 的倍数的灯做相反处理(即,将打开的灯关闭,将关闭的灯打开)。依照编号递增顺序,以后的人都和 3 3 3 号一样,将凡是自己编号倍数的灯做相反处理。问当第 N N N 个人操作完之后,有哪些灯是关闭着的?
输入格式
输入为一行,一个整数 N N N,为灯的数量。
输出格式
输出为一行,按顺序输出关着的灯的编号。编号与编号之间间隔一个空格。
样例 #1
样例输入 #1
10
样例输出 #1
1 4 9
样例 #2
样例输入 #2
5
样例输出 #2
1 4
思路:
一开始所有灯都是亮的,如果要最后是关着的话,那么这个灯在整个过程中应该被开关奇数次,所以满足最后是关闭状态的灯,它的因子应该是奇数个,又因为完全平方数的因子是奇数个(这是一个定理,已经确定的),那么我们只需要找从1到n中有哪些数是完全平方数,那么最后这些灯就是关闭状态的。
为什么完全平方数的因子个数是奇数个
因为对于一个数x来说,存在因数m,必然存在另一个因数x/m,两个一对,而完全平方数的平方根对应的因数又是本身自己,所以一共有奇数个因子。
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner in=new Scanner(System.in);
int n=in.nextInt();
for(int i=1;i<=n;++i){
if(i*i<=n)
System.out.print(i*i+" ");
}
}
}