Z变换初值和终值定理
01 第十一次作业
一、习题简介
z 变换, 将序列信号转换成一个复变象函数。 根据初值定理和终值定理, 可以通过求解两个极限, 分别获得序列在 n=0 时刻的取值, 以及在 无穷远的取值。 在应用的时候主要注意到两个定理应用的条件。
应用初值定理是, 需要序列 x[n] 是因果序列。 也就是 x[n] 不存在 n 小于 0 时 不为零的取值。 如果它的 z 变换是一个有理分式, 则要求该有理分式的收敛域包括 无穷远点。 或者分子多项式的阶次不超过分母多项式的阶次。 在应用终值定理时, 则要求满足以下两个充分条件; 要么X(z)的极点都位于单位圆内, 要么最多只能在 z=1 处有一个一阶极点。 在应用这两个定理之前需要对其条件进行检验。 下面通过 第十一次作业中四个小题, 练习这两个定理的应用。
二、习题求解
1、第一小题
首先讨论一下第一小题, 它是一个二阶有理分式, 它的分子和分母都是二阶多项式, 所以满足初值定理的条件。 通过求取 z 趋向于 无穷大的极限, 可以得到序列 x[0] 的取值, 它等于 1。 下面考察序列的终值。 在应用终值定理时, 需要判断该序列是否存在终值。 由于它具有一个极点 z=3, 位于单位圆之外。 所以该序列不存在终值。 由此, 得到第一小题的初值和终值的判断。
第二小题, 也是一个二阶有理分式。 分子分母都是二阶多项式, 满足初值定理的要求。 通过求 z 趋向于无穷大, 可以求得 x[0] 的取值, 等于1。 有理分式具有两个极点, 分别位于正负 0.5, 都位于单位圆之内, 满足终值定理条件。 应用 z 变换终值定理, 可以求得 x[n] 终值为 0。 这是低弱小题解答。
第三小题, 是一个二阶有理分式。 相比于前面两个小题, 它具有两个极点, 其中一个恰好位于 z=0, 应用初值定理, 可以得到 x[0] 等于 0。 应用终值定理, 经过化简, 可以得到序列的终值等于 2 。 这是第三小题的初值和终值。
第四小题是一个五阶有理分式。 它的分子阶次为5, 分母阶次为 3。 包括一个 z=1 处 的极点, 两个单位圆内的极点。 所以它可以直接使用终值定理, 但不能直接使用初值定理。 先使用长除方法, 将有理分式展开成一个多项式和一个真分式。 后面这部分可以应用初值定理, 实际上这个常数项 就是对应着 x[0], 它斗鱼 1.25。 应用终值定理, 求取序列的终值, 经过化简, 可以得到序列的终值。 它等于三分之四。 第四小题是整个大题中的最为复杂的一个小题。
※ 总 结 ※
本文针对第十一次作业中 z 变换初值和终值定理习题进行讨论。 在应用过程中需要注意到定理的应用条件。
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