前言

最短路径算法在众多领域都有广泛应用，众多网络流问题都基于或部分基于最短路问题。一种经典的有效解决最短路问题的算法——dijkstra 算法已经得到广泛应用。dijkstra算法是一种label setting算法，适用于一对多，即某一点到其他各点的最短路。通常情况下的最短路算法依赖于邻接矩阵，用以描述网络的拓扑结构。然而在多数情况下，网络中点包含了多个特征，如位置，前后节点等。 本文用结构体（类也可以）来表示网络中的节点，用C++语言实现dijkstra算法。

一、节点（Node）的数据结构

节点可以采用结构体来描述，这样能够适配绝大多数情况下的应用，并且不必专门去构建邻接矩阵。这里的label指代了网络中的节点（因为dijkstra也是label setting算法，所以这里命名为label）。Id表示节点编号，flag表示该点是否已经成为永久标号的点（也即closed set中的点），lastid表示当前节点的沿着“当前最短路”的前一个节点的标号，path用来存储最短路径。后面重载了若干构造函数，可根据实际情况进行增减。

struct Label {
    
    
	int id;
	bool flag; // 是否已经成为closed set中的点
	double val;
	int lastid; 
	vector<int> path; // 用来存储路径
	Label(int id) {
    
    
		this->id = id;
		this->flag = false;
		this->val = 500000.0;
	}
	Label(int id, double val) {
    
    
		this->id = id;
		this->val = val;
	}
	Label(int id, double val, bool flag) {
    
    
		this->id = id;
		this->flag = flag;
		this->val = val;
	}
};

二、Dijkstra算法实现

1. 初始化，确定从哪一点开始寻路

	int startnode = wb.getNodeID();
	int benchid = wb.getID();
	
	vector<Label> label = vector<Label>(98 * 98 + 1);
	for (int i = 0; i < label.size(); i++)
	{
    
    
		label[i] = Label(i);
	}
	label[startnode].val = 0;
	label[startnode].lastid = 0; // 默认第一个阶段的前节点是0

2. 优先队列

struct cmp {
    
    
	bool operator()(Label a, Label b)
	{
    
    
		return a.val > b.val;
	}
};

priority_queue<Label, vector<Label>, cmp> pq;
pq.push(Label(startnode, 0.0));

采用优先队列能够在每次寻找最小标号时更快的找到，时间复杂度为O(logn)。利用STL实现一个优先队列需要手写一个cmp比较函数，具体写法可以参考相关文档。将第一个节点push进队列，每次出队的时候默认时val最小的标号。

3. 算法主体

	while (!pq.empty())
	{
    
    
		int topnode = pq.top().id;
		if (label[topnode].flag == true) {
    
    
			pq.pop();
			continue;
		}
		else
		{
    
    
			label[topnode].flag = true;
			label[topnode].path = label[label[topnode].lastid].path; // 被选中的最短的node 的路径是前继节点的路径加上当前节点
			label[topnode].path.push_back(topnode);
			nodeset[topnode].path[benchid] = label[topnode].path; // 将确定的path赋值给 nodeset中的node
			MapDis[benchid][topnode] = pq.top().val;
			//cout << MapDis[benchid][topnode] << endl;
			//cout << topnode << " " << endl;
			for (int i = 0; i < nodeset[topnode].nextnode.size(); i++)
			{
    
    

				int tmp = nodeset[topnode].nextnode[i]; // tmp 是 topnode 的后继结点
				if (label[tmp].flag == true)
				{
    
    
					continue;
				}
				if (abs(tmp - topnode) == 97 || abs(tmp - topnode) == 99) {
    
    
					if (label[topnode].val + 0.5 * 1.414 < label[tmp].val)
					{
    
    
						label[tmp].val = label[topnode].val + 0.5 * 1.414;
						label[tmp].lastid = topnode;
					}
				}
				else {
    
    
					if (label[topnode].val + 0.5 < label[tmp].val)
					{
    
    
						label[tmp].val = label[topnode].val + 0.5;
						label[tmp].lastid = topnode;
					}
				}

				//pq.push(std::pair<double, int>(label[tmp], tmp));
				pq.push(Label(tmp, label[tmp].val));
			}
			pq.pop();
		}
	}
	//cout << "结束了？" << endl;

这里在记录路径的时候，采用了一边寻路一边记录路径的方式，也在一定程度上避免了回溯所造成的额外的时间消耗。每次被选中的最短的node的路径是前继节点的路径加上当前节点，如果label已经时closed set中的节点就直接continue跳过。

中间一段较长的for循环本质上是更新当前节点的后继节点的标号，可以根据实际情况进行替换。最后当队列为空时，即所有的点都被遍历到了，也即算法完成。当仅想找到从当前到某一点的最短路径，在中间特判并跳出即可。

总结

Dijkstra是网络流算法中最为经典的算法之一，熟练掌握能够应用在诸多实际案例中。