基础数学理论
LDLT;实对称(半)正定矩阵;顺序主子式;泰勒展开式
LDLT分解法简介
- 若A为一对称矩阵且其任意一k阶主子式均不为零,则A有如下惟一的分解形式:A=LDL ^ T。
- 其中L为一下三角形单位矩阵(即主对角线元素皆为1),D为一对角矩阵(只在主对角线上有元素,其余皆零),L^T为L的转置矩阵。
- LDLT分解法实际上是Cholesky分解法的改进,因为Cholesky分解法虽然不需要选主元,但其运算过程中涉及到开方问题,而LDLT分解法则避免了这一问题,可用于求解线性方程组。
设有一线性方程组Ax=b,
应用LDL^T 分解法:A=LU=LDL ^T,即LDL ^Tx=b,
令DL^Tx=y,即Ly=b
则求解线性方程组Ax=b实际上就分解为了两个步骤:
1.由Ly=b求得y;
2.再由DL^Tx=y(或L ^Tx=D ^ (-1)y求得x。
实对称(半)正定矩阵
- 设A为实对称矩阵,若对于每个非零实向量X,都有X’AX>0,则称A为正定矩阵,称X’AX为正定二次型。
- 设A为实对称矩阵,若对于每个非零实向量X,都有X’AX≥0,则称A为半正定矩阵,称X’AX为半正定二次型。
- 对于n阶实对称矩阵A,下列条件是等价的:
(1)A是正定矩阵;
(2)A的一切顺序主子式均为正;
(3)A的一切主子式均为正;
(4)A的特征值均为正;
(5)存在实可逆矩阵C,使A=C′C;
(6)存在秩为n的m×n实矩阵B,使A=B′B;
(7)存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R,使A=R′R
顺序主子式
- 顺序主子式是取n阶方阵的部分元素化为行列式形式。
- 方阵的第k阶行列式是由该方阵的前k行和k列元素组成。
- 对于n阶方阵A,其共有n阶顺序主子式。通过计算方阵A的所有顺序主子式,可以来判断一个实二次型是否正定或方阵A是否为正定矩阵,也可以判断方阵A是否可以进行唯一LU分解。
泰勒展开式
f(x)在x=a处的泰勒展开式常用公式是f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’'(a)/2!(x-a)^ 2+……+f(n)(a)/n!*(x-a)^n。