全概率公式

在概率论与数理统计中，有两个相当重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式。然而很多人对这两个公式感到非常迷茫。一来不知道公式背后的意义所在，二来不知道这些冰冷的公式能有什么现实应用。

1. 全概率公式

在讲全概率公式之前，首先要理解什么是“完备事件群”。
我们将满足

B i B j = \emptyset (i \neq j) B 1 + B 2 + \dots = Ω

这样的一组事件称为一个“完备事件群”。简而言之，就是事件之间两两互斥，所有事件的并集是整个样本空间（必然事件）。

假设我们要研究事件A。我们希望能够求出P(A)，但是经过一番探索，却发现P(A)本身很难直接求出，不过却能够比较容易地求出各个P(Bi)，以及相应的条件概率P(A|Bi)。
能不能根据这些信息，间接地求出P(A)呢？
这当然是可以的。

我们不要忘记，Bi是两两互斥的。

A = A Ω = A B 1 + A B 2 + A B 3 + \dots

显然，AB1，AB2，AB3，⋯也是两两互斥的。1
一说到两两互斥，我们就想到了概率的加法定理：2

P (A) = P (A Ω) = P (A B 1 + A B 2 + A B 3 + \dots) = P (A B 1) + P (A B 2) + P (A B 3) + \dots

再根据条件概率的定义，我们得到了教科书上的全概率公式：

P (A) = P (B 1) P (A | B 1) + P (B 2) P (A | B 2) + P (B 3) P (A | B 3) + \dots

这样费了一番周折，我们总算得到了所求的P(A)。可以发现，虽然P(A)本身不好求，但我们可以根据它散落的“碎片”间接地将其求出。但不是所有情况都是能这样求出的——我们必须保证B1，B2，B3，⋯是一个完备事件群。这个其实也很好理解，假如你想将一个碎掉的花瓶重新还原，碎片如果不全，或者碎片之间出现了多余的“重叠”，还原工作都将以失败告终。

全概率公式可以从另一个角度去理解，把Bi看作是事件A发生的一种“可能途径”，若采用了不同的途径，A发生的概率，也就是相应的条件概率P(A|Bi)也会不同。但是，我们事先却并不知道将会走哪条途径，换言之，途径的选择是随机的3，这样就导致了不同途径被选中的可能性也许也会存在差异，这就是P(Bi)所表达的含义。这样一来，我们最终所要求的P(A)，实际上就是一个不同路径概率的加权平均。

1. 全概率公式

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