一、贪婪算法
1.1 理论介绍
贪婪算法(Greedy Algorithm)是一种基于贪心策略的算法设计方法。在每一步选择中,贪婪算法总是选择当前看起来最优的选择,而不考虑整体最优解。虽然贪婪算法不能保证获得全局最优解,但在许多问题中可以得到近似最优解或有效的解决方案。
贪婪算法的一般步骤如下:
- 定义问题的优化目标,并确定适合的选择标准。
- 根据选择标准,选择当前最优的解决方案或局部最优解。
- 检查所选的解决方案是否满足问题的约束条件。
- 如果满足约束条件,将所选的解决方案作为部分最优解,并继续迭代。
- 重复步骤2-4,直到达到问题的终止条件。
- 组合各部分最优解,得到问题的整体解决方案。
贪婪算法的关键在于选择当前最优解决方案的策略。这个策略可以基于多个因素,如最大化收益、最小化成本、最短路径、最大覆盖等。选择的策略应该能够在每一步选择中获得局部最优解,以期望达到全局最优解。
需要注意的是,贪婪算法并不适用于所有问题,因为在某些情况下,贪婪选择可能导致无法达到最优解。因此,在应用贪婪算法时,需要仔细分析问题的性质,并评估算法的适用性和效果。
一些常见的应用贪婪算法的问题包括:最小生成树、最短路径、背包问题、任务调度等。贪婪算法通常具有简单、高效的特点,并且在某些情况下可以提供快速且接近最优解的解决方案。
1.2 常见问题
1.2.1 背包问题
背包问题(Knapsack Problem)是一个经典的组合优化问题,也是一个NP完全问题。该问题的基本形式是:给定一个固定容量的背包和一组具有各自价值和重量的物品,如何选择将哪些物品放入背包,以使得背包内物品的总价值最大化。
背包问题有两个常见的变体:
- 0/1背包问题(0/1 Knapsack Problem):每个物品要么完全放入背包,要么完全不放入背包。换句话说,每个物品的选择只有两种状态:放入或不放入。
- 分数背包问题(Fractional Knapsack Problem):每个物品可以按照比例被放入背包,可以选择部分物品放入背包。物品可以被分割成更小的部分。
数学表示为:
给定n个物品,每个物品有一个价值vi和重量wi。背包的容量为W。目标是选择哪些物品放入背包,以使得放入背包的物品总价值最大化,同时要求总重量不超过背包的容量W。
解决背包问题的一种常见方法是使用动态规划(Dynamic Programming)算法。动态规划算法通过构建一个二维表格来存储子问题的最优解,并利用子问题之间的关系逐步计算出整体问题的最优解。具体步骤如下:
- 创建一个二维表格,行表示可选的物品,列表示背包的容量。
- 初始化表格的第一行和第一列为0。
- 逐个填充表格的其他单元格,根据以下规则:
如果当前物品的重量大于当前背包容量,将该单元格的值设为上一个单元格的值(即不选择当前物品)。
如果当前物品的重量小于等于当前背包容量,计算选择和不选择当前物品的两种情况下的最大价值,并选择较大的那个值。
- 最后一个单元格的值即为问题的最优解,即背包内物品的最大总价值。
除了动态规划,背包问题还可以使用贪婪算法、回溯算法、整数线性规划(ILP)等方法进行求解。对于0/1背包问题,动态规划是一种有效且常用的求解方法。对于分数背包问题,贪婪算法可以得到最优解。
背包问题在实际中有许多应用,如资源分配、投资组合优化、货物装载等。根据具体问题的特征和约束条件,可以选择适当的背包问题变体和求解方法来解决。
1.2.2 集合覆盖问题
集合覆盖问题(Set Cover Problem)是一个经典的组合优化问题,属于NP完全问题集合。该问题的目标是选择最少数量的集合,使得这些集合的并集包含了给定的全集。
具体来说,给定一个包含 n 个元素的全集 U,以及一组集合 S1, S2, …, Sm,每个集合Si是全集U的一个子集。集合覆盖问题要求选择最少数量的集合,使得它们的并集与全集U相等,即覆盖了全集U中的所有元素。
数学表示为:
找到一个最小的集合C,其中C⊆{S1, S2, …, Sm},使得⋃(S∈C) S = U。
解决集合覆盖问题的一种常见方法是使用贪婪算法。贪婪算法从一个空集合开始,并重复以下步骤,直到全集U中的所有元素都被覆盖:
- 在尚未覆盖的元素中,选择一个能够覆盖最多未覆盖元素的集合Si。
- 将集合Si添加到覆盖集合C中。
- 从全集U中删除Si中已覆盖的元素。
重复上述步骤,直到全集U中的所有元素都被覆盖。最终得到的集合C就是一个近似最优解,其中包含了最少数量的集合,能够覆盖全集U。
然而,贪婪算法并不能保证获得最优解,因为它只关注当前局部最优选择,并不能考虑全局最优解的可能性。对于集合覆盖问题的精确解决需要使用更复杂的算法,如回溯算法、整数线性规划(ILP)等。这些算法可以找到确切的最优解,但在大规模问题上可能会变得非常耗时。
集合覆盖问题在实际中有广泛的应用,例如广播台选择问题、课程安排问题等,这些问题可以转化为集合覆盖问题,并利用相应的算法求解。
1.3 集合覆盖问题实践
state_needed = set(['mt', 'wa', 'or', 'id', 'nv', 'ut', 'ca', 'az'])
stations = {
}
stations['kone'] = set(['id', 'nv', 'ut'])
stations['ktwo'] = set(['wa', 'id', 'mt'])
stations['kthree'] = set(['or', 'nv', 'ca'])
stations['kfour'] = set(['nv', 'ut'])
stations['kfive'] = set(['ca', 'az'])
final_stations = set()
while state_needed:
best_station = None
station_covered = set()
for station, states_for_station in stations.items():
covered = state_needed & states_for_station
if len(covered) > len(station_covered):
best_station = station
station_covered = covered
state_needed -= station_covered
final_stations.add(best_station)
这段代码使用贪心算法来解决一个集合覆盖问题。给定一组需要覆盖的州(state_needed),以及一组广播站和它们能够覆盖的州(stations),代码的目标是找到最少的广播站集合(final_stations),使得它们能够覆盖所有需要覆盖的州。
代码的执行逻辑如下:
- 初始化最终广播站集合(final_stations)为空集。
- 当仍然存在需要覆盖的州(state_needed)时,继续执行循环。
- 在每次循环迭代中,遍历每个广播站(station)以及它们能够覆盖的州(states_for_station)。
- 计算需要覆盖的州和当前广播站能够覆盖的州之间的交集,即已经覆盖的州(covered)。
- 如果当前广播站的覆盖州数量(len(covered))大于已经选择的最佳广播站的覆盖州数量(len(station_covered)),则更新最佳广播站(best_station)和已经覆盖的州(station_covered)。
- 从需要覆盖的州(state_needed)中去除已经覆盖的州(station_covered)。
- 将最佳广播站(best_station)添加到最终广播站集合(final_stations)中。
- 重复步骤2-7,直到所有州都被覆盖。
最终,代码将找到一组最少的广播站集合(final_stations),这些广播站能够覆盖所有需要覆盖的州(state_needed)。
请注意,这段代码中使用了Python的集合(set)和字典(dictionary)数据结构来表示需要覆盖的州、广播站及其覆盖的州。代码逻辑可以应用于其他编程语言,但可能需要根据语言特性进行一些修改。
最终结果为:
final_stations
{
'kfive', 'kone', 'kthree', 'ktwo'}
结果符合我们的预期吗?选择的广播台可能是3、3、4、5,而不是我们预期的1、2、3、5。
二、NP 完全问题
NP完全问题(NP-Complete Problems)是一类计算复杂性理论中的问题集合。这些问题具有两个关键特征:其一是它们属于NP问题集合,其二是它们具有NP-hard性质。
- NP问题集合:NP(Nondeterministic Polynomial)问题集合包括那些可以在多项式时间内验证解的问题。也就是说,如果给定一个解,可以在多项式时间内验证该解是否正确。但在一般情况下,找到这些问题的解需要非确定性多项式时间,即暴力穷举所有可能的解。NP问题集合包括许多重要问题,如旅行商问题(TSP)、图的着色问题、子集和问题等。
- NP-hard性质:NP-hard(Nondeterministic Polynomial-hard)是一个更广泛的概念,用于描述那些在多项式时间内无法求解的问题。NP-hard问题是一类具有极高计算复杂性的问题,其解决方案要么需要非常高的计算资源,要么需要超过多项式时间的算法。如果一个问题是NP-hard的,意味着它至少和NP完全问题一样难以求解。
NP完全问题是NP问题集合中最困难的问题,它们既属于NP问题集合,又具有NP-hard性质。这意味着,如果找到了一个多项式时间内求解任何NP完全问题的算法,那么就可以在多项式时间内求解NP问题集合中的所有问题。因此,NP完全问题的解决方案目前尚未找到高效的多项式时间算法,但可以通过尝试所有可能的解来验证给定的解是否正确。
一些著名的NP完全问题包括旅行商问题(TSP)、图的着色问题、布尔可满足性问题(SAT)等。这些问题的困难性使得它们在实际应用中往往需要使用近似算法、启发式算法或其他近似解决方案来求解。研究NP完全问题及其性质是计算理论和算法设计中重要的研究领域。
识别一个问题是否是NP完全问题是一个关键的计算理论问题。由于NP完全问题的困难性质,不存在多项式时间的算法可以准确地判断一个问题是否是NP完全问题。然而,有几种常用的方法和线索可以用于判断一个问题的可能性。
- 元素较少时算法的运行速度非常快,但随着元素数量的增加,速度会变得非常慢;
- 涉及“所有集合”的问题通常是NP完全问题;
- 不能将问题分为小问题,必须考虑各种可能的情况。这可能是NP完全问题;
- 如果问题涉及序列(如旅行商问题中的城市序列)且难以解决,它可能就是NP完全问题;
- 如果问题涉及集合(如广播台集合)且难以解决,它可能就是NP完全问题;
- 如果问题可以转换为集合覆盖问题或旅行商问题,那它肯定是NP完全问题。
三、总结
- 贪婪算法寻找局部最优解,企图以这种方式获得全局最优解;
- 对于NP完全问题,还没有找到快速解决的方案;
- 面临NP完全问题时,最佳的做法是使用近似算法;
- 贪婪算法易于实现、运行速度快,是不错的近似算法。