UOJ #204. 【APIO2016】Boat dp+组合数学

题意

给你n个区间，每个区间可以选的数的范围是[ai,bi]要你求非空上升子序列的个数
n<=500,ai,bi<=10^9

分析

这道题好题啊，但是我好弱啊
先说部份分，对于每个数我们可以拆成两维，(pos,num),然后就可以dp来做，每一次只把pos和num比较小的累计起来，然后简单的二维dp

考虑下正解，肯定是把很多区间给离散化一下，但是这里又害怕取到相同的数，我们可以先把bi+1，然后对于每个区间，就是取 $[l_i,r_i)$

然后现在看怎么dp， $f[i][j]$ 表示第i个数必须放，放的高度在j区间里面，枚举上一个放的区间

f [i] [j] = \sum_{k = 0}^{i} (\sum_{p = 0}^{j} f [k] [p]) c a l c (k + 1, i, j)

$f[i][j] = \sum\limits_{k=0}^{i}(\sum\limits_{p=0}^{j} f[k][p])calc(k+1,i,j)$
这里的

c a l c (k + 1, i, j)

$calc(k+1,i,j)$ 表示

[k + 1, i)

$[k+1,i)$ 的数不放，或者范围在第j个区间中，假设

[k + 1, i)

$[k+1,i)$ 能放的有

m

$m$ 个,当前j这个区间的长度为l

c a l c (k + 1, i, j) = \sum_{i = 1}^{m + 1} (\binom{m}{i - 1}) (\binom{l}{i})

$calc(k+1,i,j) =\sum\limits_{i=1}^{m+1} \binom{m}{i-1}\binom{l}{i}$
这里好像有范德蒙德卷积公式：

c a l c (k + 1, i, j) = (\binom{m + l}{m + 1})

$calc(k+1,i,j) = \binom{m+l}{m+1}$

f [i] [j] = \sum_{k = 0}^{i} (\sum_{p = 0}^{j} f [k] [p]) (\binom{m + l}{m + 1})

$f[i][j] = \sum\limits_{k=0}^{i}(\sum\limits_{p=0}^{j} f[k][p])\binom{m+l}{m+1}$
发现这里括号内可以维护个前缀和，就没了

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 1010;
const ll Mod = 1e9+7;
inline ll read()
{
  char ch=getchar(); ll p=0; ll f=1;
  while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
  while(ch>='0' && ch<='9'){p=p*10+ch-'0'; ch=getchar();}
  return p*f;
}
ll n,a[N],b[N],h[N],c[N];
ll f[N][N],inv[N];
void upd(ll &x,ll y){x = (x+y) % Mod;}
int main()
{
  n = read();
  inv[0] = inv[1] = 1; for(ll i=2;i<=n+1;i++) inv[i] = (Mod - Mod / i) * inv[Mod % i] % Mod;
  for(ll i=1;i<=n;i++) a[i] = read() , b[i] = read() , b[i] ++ ,  h[i*2-1] = a[i],h[i*2] = b[i];
  sort(h+1,h+2*n+1);
  ll len = unique(h+1,h+2*n+1) - (h+1);
  for(ll i=1;i<=n;i++)
  {
    a[i] = lower_bound(h+1,h+len+1,a[i]) - h;
    b[i] = lower_bound(h+1,h+len+1,b[i]) - h - 1;
    // printf("%lld %lld\n",a[i],b[i]);
  }

  len --; for(ll i=1;i<=len;i++) c[i] = h[i+1] - h[i] ;

  for(ll i=0;i<=len;i++) f[0][i] = 1;
  for(ll i=1;i<=n;i++)
  {
    for(ll j=a[i];j<=b[i];j++)
    {
      ll m = 0; ll sum = c[j];
      for(ll k=i-1;k>=0;k--)
      {
        upd(f[i][j],f[k][j-1] * sum % Mod);
        if(a[k] <= j && j <= b[k])
        {
          m++;
          sum = sum * ((c[j] + m) % Mod) % Mod * inv[m+1] % Mod;
        }
      }
    }
    for(ll j=1;j<=len;j++) upd(f[i][j] , f[i][j-1]);
  }

  ll ans = 0;
  for(ll i=1;i<=n;i++)
  {
    // printf("%lld\n",f[i][len]);
    upd(ans , f[i][len]);
  }

  return printf("%lld\n",ans),0;
}

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