1. 比例控制（P）

定义：具有比例控制规律的控制器称为 $P$ 控制器。控制器输出 $y(t)$ 和偏差信号 $e(t)$ 成比例关系

定义式：$u(t)=K_{p}e(t)$，其中比例系数 $K_p=\frac{1}{P}$ ，$P$ 为比例带（比例度）

传递函数：$$G(s)=\frac{U(s)}{E(s)}=\frac{1}{P}$$

比例度定义：$P=（\frac{e}{x_{max}-x_{min}}/\frac{y}{y_{max}-y_{min}})\times 100\%$ ，其中 $e$ 为输入偏差，$y$ 为控制器输出变化量

​ 如果控制器输入、输出量程相等，则：$P=\frac{e}{u}\times 100\%={\frac{1}{K}}_c\times 100\%$

比例度含义：

1. 控制器输入和输出之间的增益外

2. 还表明比例作用的有效区间

比例带物理意义：

1. 比例带 $P$ 是放大倍数 $K_c$ 的倒数，其大小决定比例控制作用的强弱。
2. $P$ 越小：控制作用越强、系统调节越快、系统稳定性越小；控制余差越小；控制过程曲线越振荡，周期缩短。
3. $P$ 越大：控制过程曲线越平稳，但控制过程时间越长，余差也越大。
4. 临界比例度 $P_{min}$ ：出现等幅振荡
5. 当 $K_p$ 较小时，调节时间长；当 $K_p$ 较大时，超调量大；当 $K_p$ 趋向无穷时双位控制

比列控制特点：

• 比列调节是有差调节、连续调节，控制及时、适当。控制系统必然存在静差。
• 调节作用是以偏差存在为前提条件，不可能做到无静差调节。只要有偏差，输出立刻成比例变化，偏差越大，输出控制作用越强。若 $e$ 为 $0$ ，控制其输出为 $0$ 。
• 比例调节系统的静差，随比例度的增大而增大。
• 减小比例度可以减小静差，但会使系统稳定性下降。
• 比例调节不适合设定值随时间变化的情况。适用于控制通道滞后小、负荷变化不 大、工艺上没有无差要求的系统。

2. 积分控制（I）

定义：输出变化量 $y$ 与输入偏差 $e$ 的积分成正比

定义式：$u=\frac{1}{T_I}{\int }_0^{t}edt$ ，$T_I$ 积分时间，当 $e$ 是幅值为 $E$ 的阶跃时$u=\frac{1}{T_I}{\int }_0^{t}edt=\frac{E}{T_I}t$

特点：

• 当有偏差存在时，积分输出将随时间增长（或减小）；当偏差消失时，输出能保持在某一值上。
• 积分作用具有保持功能， 故积分控制可以消除余差。
• 积分输出信号随着时间逐渐增强，控制动作缓慢，故积分作用一般不单独使用。
• 积分调节消除偏差速度比较缓慢，系统过渡时间长，稳定性变差。
• 增大积分速度会加强积分效果，但使系统稳定性降低。

3. 比列积分控制（PI）

注意：当要求控制结果无余差时，就需要在比例控制的基础上，加积分控制作用。若将比例与积分组合起来，既能控制及时，又能消除余差 。

定义式：$u=\frac{1}{P}\left(e+\frac{1}{T_I}{\int }_0^{t}edt\right)$

传递函数： $G\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{E\left(s\right)}=\frac{1}{P}\left(1+\frac{1}{T_{I}s}\right)$

特点：

• 从时域上看，只要存在偏差，积分就会不停对偏差积累，因此稳态时误差一定为零

• 不足：比例与积分动作都是对过去控制误差进行操作， 不对未来控制误差进行预测，限制了控制性能。

• $PI$调节将比列调节的快速反应与积分调节消除静差的特点结合，实现好的调节效果。

• $PI$调节适用于控制通道滞后较小、负荷变化不大、 工艺参数不允许有静差的系统。

积分时间 $T_I$ 对过渡过程的影响

1. $T_I$ 越大，积分作用越弱; $T_I=\infty$，积分作用为零。$T_I$ 减小，积分作用增强，系统振荡加剧， 稳定性下降。因此加积分后，比例带要适当加大。
2. 如果$T_I$适当，系统能很快消除余差。

4. 微分控制（D）

  定义式：$u=T_D\frac{de}{dt}$ ，$T_D$ 微分时间，$\frac{de}{dt}$ 偏差变化速率

  特点：

  1. 微分作用能超前控制，预测偏差变化趋势并加以预防的能力。 在偏差出现或变化的瞬间，微分立即产生强烈的调节作用，使偏差尽快地消除于萌芽状态之中。
  2. 微分对静态偏差毫无控制能力。当偏差存在， 但不变化时，微分输出为零，因此不能单独使用。 必须和 $P$ 或 $PI$ 结合，组成 $PD$ 控制或 $PID$ 控制。

5. 比列微分（PD）

  对于惯性较大的对象，常常希望能加快控制速度， 此时可增加微分作用。

  理想 $PD$ 控制定义式 ：$u=\frac{1}{P}\left(e+T_D\frac{de}{dt}\right)$

  传递函数： $G\left(s\right)=\frac{1}{p}\left(1+T_{D}s\right)$

特点：

• 比例控制对于惯性较大对象，控制过程缓慢，控制品质不佳。比例微分控制可提高控制速度，对惯性较大对象，可改善控制质量，减小偏差，缩短控制时间。
• 理想微分作用持续时间太短， 执行器来不及响应。实际使用中，一般加以惯性延迟，称为实际微分。
• $PD$ 调节以比例调节为主，微分调节为辅， $PD$调节是有差调节。
• $PD$ 调节具有提高系统稳定性、抑制过渡过程最大动态偏差的作用。
• $PD$ 调节有利于提高系统响应速度。
• $PD$ 调节抗干扰能力差，一般只能应用于被调参数 变化平稳的生产过程。
• 微分作用太强时，容易造成系统振荡。

微分时间 $T_D$ 对过渡过程的影响：

• $T_D=0$，纯比 例控制过程
• $T_D$ 较小，控制 速度稍有加快
• $T_D$ 合适，控制 速度明显加快
• $T_D$ 太大，出现 等幅振荡

6. 比例-积分-微分（PID）

  将比例、积分、微分三种调节规律结合在一起， 只要三项作用的强度配合适当，既能快速调节，又能消除余差，可得到满意的控制效果。

公式：$u\left(t\right)=\frac{1}{P}\left(e+\frac{1}{T_I}{\int }_0^{t}edt+T_D\frac{de}{dt}\right)$ ，$K_p=\frac{1}{P},K_I=\frac{1}{P{T}_I},K_d=\frac{T_D}{P}$

传递函数：$G\left(s\right)=\frac{1}{p}\left(1+\frac{1}{T_{I}s}+T_{D}s\right)$

特点：

• $PID$ 控制作用中，比例作用是基础控制；微分作用是 用于加快系统控制速度；积分作用是用于消除静差。
• 只要比例、积分、微分三种控制规律强度配合适当， 既能快速调节，又能消除余差，可得到满意控制效果。

位置型PID

  如果调节器的输出是控制阀门的话，$y_n$是对应 的阀门开度位置，故上式称为位置型$PID$算式

​ $u_n=\frac{1}{P}\left(e_n+\frac{1}{T_I}\sum _{i=0}^n{e}_i\Delta T+T_D\frac{e_n-e_{n-1}}{\Delta t}\right)$

增量式PID

​ 只需计算出本次与上次输出之间的增量$\Delta y_n$即 可$y_n=y_{n-1}+\Delta y_n$

​ $\Delta u_n=\frac{1}{P}\left(\left(e_n-e_{n-1}\right)+\frac{\Delta T}{T_I}{e}_n+T_D\frac{e_n-2e_{n-1}+e_{n-2}}{\Delta t}\right)$

位置型PID和增量型PID的比较：

• 位置式需引入初始阀位值，增量式不需要
• 位置式需防积分饱和，增量式不会产生积分饱和¹
• 只有存在偏差时，增量式才会有输出
• 增量式容易实现从手动到自动的切换

7. PID整定

• $K_p$ 较小时，系统对微分和积分环节的引入较为敏感，积分会引起超调，微分可能会引起振荡，而振荡剧烈的时候超铁也会增加。
• $K_p$ 增大时，积分环节由于滞后产生的超调逐渐减小，此时如果想要继续减少超调可以适当引入微分环节。继续增大 $K_p$ 系统可能会不太稳定，因此在增加 $K_p$ 的同时引入 $K_d$ 减小超调，可以保证在 $K_p$ 不是很大的情况下也能取得较好的稳态特性和动态性能。
• $K_p$ 较小时，积分环节不宜过大，$K_p$ 较大时积分环节也不宜过小（否则调节时间会非常地长），当使用分段 $PID$ ，在恰当的条件下分离积分，可以取得更好的控制效果。原因在于在稳态误差即将满足要求时，消除了系统的滞后。因此系统超调会明显减少。

注意：一个不错的 $PID$ 实例，参考视频：B站视频，个人感觉这个B站UP主视频生动形象的讲解了PID，可以观看一下这个视频。（个人建议：一定要看一下这个视频和这个实例）
实例效果预览：

8. MATLAB仿真动态PID控制

参考资料：Matlab仿真PID控制

  个人建议：先看完上面给的这篇参考资料博客，再来看我这个动态的PID就会觉得比较轻松许多

  此博主写的仿真实验非常的好，本人在此博主的基础上让整个PID调试的过程运动起来，利用matlab中的绘制动态图像函数实现。

8.1 动态PID仿真Matlab代码

仿真代码如下：

clear all
p=0:8.5/1000:8.5;
d=3.2:-3.2/1000:0;
i=0:1.5/1000:1.5;
n=length(p);
p1=3.5*ones(n,1);
p2=8.5:-5/1000:3.5;
i1=0.76*ones(n,1);
a=zeros(n,1);
PID=[p',a,a;p2',a,a;p1,i',a;p1,i1,d'];%初始化PID参数
grid on 
for pid=1:1:4*n
    ts=0.005;  %采样时间=0.005s
    sys=tf(0.998,[0.021,1]);   %建立被控对象传递函数
    dsys=c2d(sys,ts,'z');      %离散化
    [num,den]=tfdata(dsys,'v');   
    e_1=0;      %前一时刻的偏差      
    Ee=0;       %累积偏差
    u_1=0.0;    %前一时刻的控制量
    y_1=0;       %前一时刻的输出
    %PID参数
    kp=PID(pid,1);    
    ki=PID(pid,2);
    kd=PID(pid,3);
    u=zeros(1,5000);
    time=zeros(1,5000);
    for k=1:1:5000
        time(k)=k*ts;   %时间参数
        r(k)=1500;      %给定量
        y(k)=-1*den(2)*y_1+num(2)*u_1+num(1)*u(k);
        e(k)=r(k)-y(k);   %偏差
        u(k)=kp*e(k)+ki*Ee+kd*(e(k)-e_1);   
        Ee=Ee+e(k);    
        u_1=u(k);    
        y_1=y(k);    
        e_1=e(k);
    end
    p1=plot(time,r,time,y);xlim([0,0.25]);ylim([0,2000])
    title(['Kp=',num2str(kp),' Ki=',num2str(ki),' Kd= ',num2str(kd)]);
    drawnow   
    pause(0.00001);    
end
 xlabel('时间t/s');
 ylabel('输出量');
 legend('r(t)给定值','y(t)输出函数');

仿真结果动态图：

8.2 静态对比

  根据上面动态的仿真过程中，选取了一些特定的PID参数，作为对比更直观的感受。
代码如下：

clear all
PID=[0.22,0.13,0;
    0.4,0.13,0;
    0.4,0.25,0;
    0.8,0.23,0.4;
    0.8,0.2,1;
    0.7,0.2,0.9];%初始化PID参数
for pid=1:1:6
ts=0.005;  %采样时间=0.005s
sys=tf(0.998,[0.021,1]);   %建立被控对象传递函数
dsys=c2d(sys,ts,'z');      %离散化
[num,den]=tfdata(dsys,'v');   
e_1=0;      %前一时刻的偏差      
Ee=0;       %累积偏差
u_1=0.0;    %前一时刻的控制量
y_1=0;      %前一时刻的输出
%PID参数
kp=PID(pid,1);    
ki=PID(pid,2);
kd=PID(pid,3);
u=zeros(1,1000);
time=zeros(1,1000);
for k=1:1:1000
    time(k)=k*ts;   %时间参数
    r(k)=1500;      %给定量
    y(k)=-1*den(2)*y_1+num(2)*u_1+num(1)*u(k);
    e(k)=r(k)-y(k);   %偏差
    u(k)=kp*e(k)+ki*Ee+kd*(e(k)-e_1);   
    Ee=Ee+e(k);    
    u_1=u(k);    
    y_1=y(k);    
    e_1=e(k);
end
hold on;
p2=plot(time,y);xlim([0,0.35]);
xlabel('时间t/s')
ylabel('输出量')
end
grid on
p1=plot(time,r,'-.');xlim([0,0.35]);
legend('Kp=0.22,Ki=0.13,Kd=0','Kp=0.4,Ki=0.13,0','Kp=0.4,Ki=0.25,0','Kp=0.8,Ki=0.23,0.4','Kp=0.8,Ki=0.2,1','Kp=0.7,Ki=0.2,Kd=0.9','理想值')
title('PID控制系统阶跃响应图')

仿真后的图如下：

9 simulink仿真

提示：本节有一个关于一阶、二阶惯性和二阶惯性开环仿真，还有个PID闭环控制系统的simulink的仿真实验，实验已经做好了，请读者耐心等待下一篇blogs。（先预热一下）

10 补充

由于比较繁忙，这篇关于仿真的文章搁置了许久，现已完成点击此处链接： PID闭环控制系统的Simulink的仿真