1.正态总体下常见的抽样分布

本人博客：总体分布、样本分布、抽样分布的区别
本人博客：三大抽样分布

正态总体下常见的抽样分布意思是：样本来自服从正态分布的总体中，从样本中抽样后得到的分布

1.1 单个正态总体下的抽样分布：正态分布

设总体 $X\sim N(\mu ，{\sigma }^2)$，$X_1，X_2，\cdots ，X_n$ 是来自总体X的样本（独立且同分布），样本均值为 $\bar{X}$

样本均值服从的分布为：$\bar{X}\sim N(\mu ，\frac{{\sigma }^2}{n})$（正态分布）
服从正态分布的各个随机变量线性组合仍为正态分布

可以将样本均值（随机变量）标准化：
$$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$
若将上述标准化后的随机变量进行平方，则处理后服从自由度为1的卡方分布
$$(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}{)}^2\sim {\chi }^2(1)$$

1.2 单个正态总体下的抽样分布：自由度为 n 的卡方分布

设总体 $X\sim N(\mu ，{\sigma }^2)$，$X_1，X_2，\cdots ，X_n$ 是来自总体X的样本（独立且同分布）
若将每个样本（随机变量）进行标准化后平方再进行加和，则服从自由度为n的卡方分布

$$\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n)$$

1.3 单个正态总体下的抽样分布：自由度为 n-1 的卡方分布

设总体 $X\sim N(\mu ，{\sigma }^2)$，$X_1，X_2，\cdots ，X_n$ 是来自总体X的样本（独立且同分布），样本均值为 $\bar{X}$，样本方差为 $S^2$，$\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立


下图来自《统计学图鉴》中对自由度的理解

样本方差$S^2$本身是不遵循概率分布的，为了能让它遵循卡方分布，我们需要将其变换为与样本方差$S^2$成比例的统计量（卡方分布）
$$\frac{n{B}_2}{{\sigma }^2}=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

注意区分下图中两个式子：
区别：一个是总体均值（数值）$\mu$，一个是样本均值（随机变量）$\bar{X}$
$$\begin{gathered} \frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n) \\ \frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1) \end{gathered}$$

1.4 两个正态总体下的抽样分布：自由度为 n 的 t 分布

$$\frac{X}{\sqrt{\frac{Y_1^2+Y_2^2+\cdots +Y_n^2}{n}}}\sim t(n)$$

1.5 单个正态总体下的抽样分布：自由度为 n-1 的 t 分布

设总体 $X\sim N(\mu ，{\sigma }^2)$，$X_1，X_2，\cdots ，X_n$ 是来自总体X的样本（独立且同分布），样本均值为 $\bar{X}$，样本方差为 $S^2$，$\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立

$$\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$
若将上述随机变量平方，则其服从F分布
$$(\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}{)}^2\sim F(1,n-1)$$

1.6 小结：单个正态总体下的抽样分布

1.7 两个正态总体下的抽样分布：自由度为 $n_1+n_2-2$ 的 t 分布

1.8 两个正态总体下的抽样分布：$F(n_1-1，n_2-1)$