提起线性代数，老师似乎只会告诉我们矩阵的应用范围很广，很重要。但是
一学期学下来，大家似乎也只会做题并不知道矩阵是如何运用的。一开始的我也是很疑惑，所学的知识似乎和实际的运用丝毫挂不上边。比如，以前听人说图像矩阵可以旋转。但是如何旋转，怎么旋转一直都不了解。虽然上网百度网上只是给出了图像旋转的公式，但却没有给出具体的解释。经过一番钻研还是了解了图像旋转的全过程，这里分享给大家，希望对大家有所帮助。

图像旋转的步骤

首先，大家要先了解图像旋转的步骤有哪些，只有知道自己每一步在做什么才不致于迷茫：
我们先读取一张图片，想象将图片放入一个坐标系中，图片的左上角与坐标原点重合，这时候的图片矩阵的索引与坐标系中的坐标（x,y）相吻合。再接着以图片对应的每一个（x,y）坐标进行一定角度的旋转得到（x1,y1），这时候的坐标x1,y1有的可能为负值，这样的负值在矩阵的索引中是不科学的。所以我们需要将负值变为正值，这相当于平移到正值的象限，平移后的坐标为（x2,y2）。最后将原图像矩阵根据索引（x,y）得到像素值，并将其赋值给相对应的矩阵索引（x2,y2）。这样就完成了。
图文并茂才能更好的理解，下面看图：

实现难点

下面我们就来说旋转矩阵是怎么来的以及它是什么样子的。
假设一个点为（x,y）,旋转角度为$\theta$。在直角坐标系中难以表示旋转，我们以极坐标系来表示：$x^2+y^2=r^{2}x=r\cos \alpha y=r\sin \alpha$
则旋转后的坐标为：$x=r\cos (\alpha -\theta )y=r\sin (\alpha -\theta )$
化简后为：$x1=x\cos \theta +y\sin \theta y1=y\cos \theta -x\sin \theta$
根据化简后的公式可得出矩阵计算公式：
$\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x1& y1\end{array}\right]$
上面的旋转公式只是理论上的，但在实际运用的时候还需要对其进行进一步的改造。一般的旋转都是默认进行图像中心位置的旋转，这样我们需要先将图像中心移动到原点，在旋转，最后将其移动到原位置。(这里的w,h代表了图像的长和宽)
$\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -w/2& -h/2& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ w/2& h/2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x1& y1& 1\end{array}\right]$
再对其进行化简得
$\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ w/2-w/2\ast \cos -h/2\ast \sin & w/2\ast \sin -h/2\ast \cos +h/2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x1& y1& 1\end{array}\right]$
这个就是最终我们在编程是要使用的公式
到这为止我们的核心工作就完成了，下面就可以用代码来实现了。

代码实现

在实现过程中会有一些关键点，我也都做了注释

import cv2
import numpy as np

#创建用于图像坐标转换的矩阵
def create_rotation_matrix(angle,w,h):
    cos = np.cos(np.deg2rad(angle))
    sin = np.sin(np.deg2rad(angle))
    matrix = np.array([[cos,-sin,0],[sin,cos,0],[w-w*cos-h*sin,w*sin-h*cos+h,1]])
    return matrix

#图像旋转
def rotation_image(image,matrix,background = 0):
    #获取图像的大小
    w,h,z = image.shape
    
    #创建旋转图像的矩阵的变量名
    rotation_image = None
    
    #创建图像坐标矩阵，这里新创建的矩阵相当于图纸，而旋转后的坐标代表要在纸上画图的位置
    coordinate = np.array([[i,j,1] for i in range(w) for j in range(h)],dtype = np.int16)

    #矩阵旋转
    rotation_coordinate = np.dot(coordinate,matrix)
    #将矩阵由浮点型转换为整数型，矩阵的索引需要整数。
    rotation_coordinate = rotation_coordinate.astype(np.int16)
    
    #将对应坐标像素赋值,此方法是将超出图像背景的部分进行了裁剪
    if background == 0:
        
        #创建旋转图像的矩阵
        rotation_image = np.zeros((w,h,z),dtype = np.uint8)
        
        #循环将相对应的像素进行赋值
        for i in range(coordinate.shape[0]):
            x,y,_ = coordinate[i]
            rot_x,rot_y,_ = rotation_coordinate[i]
            
            if rot_x<0 or rot_x>=w or rot_y<0 or rot_y>=h:
                #对于超出旋转矩阵范围的坐标点，不做处理
                pass
            else:
                rotation_image[rot_x,rot_y,:] = image[x,y,:]
    #非零代表不裁剪
    else:
        #找出坐标矩阵中最小的x和y
        min_coor = np.min(rotation_coordinate,axis = 0)
        
        #让坐标矩阵的所有x和y减去对应的最小x和y,这是坐标位于第一象限（都为正直）
        rotation_coordinate = rotation_coordinate-min_coor
        
        #再找出坐标矩阵的最大的x和y，作为rotation_image矩阵的大小
        max_coor = np.max(rotation_coordinate,axis = 0)

        rotation_image = np.zeros((max_coor[0]+1,max_coor[1]+1,z),dtype = np.uint8)
        
        #像素赋值
        for i in range(coordinate.shape[0]):
            x,y,_ = coordinate[i]
            rot_x,rot_y,_ = rotation_coordinate[i]
            rotation_image[rot_x,rot_y,:] = image[x,y,:]
     
    return rotation_image
        

if __name__ == '__main__':
    #读取图像
    image = cv2.imread(r'C:\Users\Administrator\Desktop\1.png')
    #image = cv2.cvtColor(image,cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    w,h,_= image.shape
    
    #注意这里传入的旋转点w,h不能直接传入的是w,h = image.shape
    #传入的应该是0至（w-1）和0至(h-1)
    matrix = create_rotation_matrix(angle=-45,w =w/2,h = h/2)
    
    #background为0时代表的是旋转后的图像与原图像大小相同相当于裁剪了图像，
    #传入其他数值则为显示完整的旋转图像 
    rotation_image = rotation_image(image,matrix,background = 1)

    cv2.imshow('image',image)
    cv2.imshow('rotation_image',rotation_image)
    cv2.waitKey()
    cv2.destroyAllWindows()

效果截图：

左边是原图，右边是旋转之后的图像。

总结

相信大家看见了旋转之后的图像中存在小黑点，这是因为图像在旋转之后的坐标值一般都为小数，但我们将其直接转换为了整数，这会导致旋转后的位置没有像素点。可能也会是其他原因。
这种旋转方式是前向的像素传值，还有一种是后向的像素传值（按照旋转之后的坐标到原图像中寻找对应的像素值）加上一种像素的插值法就可以解决上面的问题了。
这篇文章主要是想讲一下矩阵的运用，对于解决上面的旋转之后的小黑点问题，等到下一篇文章再讲解吧。