(2018中科大自招最后一题)
设$a_1=1,a_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^3(n+a_n)$证明:
(1)$a_n=n^3\left(1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k^2}\right);
(2)\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\dfrac{k}{a_k}\right)<3$

证明:
1)数学归纳法，略.
2)提示：由于
\begin{align*}
\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k}{a_k}& =\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k}{k^3\left(1+\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}\right)} \\
& <\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2\left(2+\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)}\\
&=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{2k^2+k}\\
&<\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2+k}\\
&=1-\dfrac{1}{k+1}\\
&<1
\end{align*}
故
\begin{align*}
\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\dfrac{k}{a_k}\right)& \le\left(\dfrac{\sum\limits_{k=1}^n{(1+\dfrac{k}{a_k}})}{n}\right)^n \\
& <\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\\
&<3
\end{align*}

注意:翻来覆去本质上还是在考察数学分析中最重要的两个极限之一的：

$\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}{(1+\dfrac{1}{n})^n}=e$