算法导论中的一个题目,上次面试题中被扩展到了二维和二维连续数组,记录下以供参考。
一维连续子数组和
问题描述:给定一个一维数组,求其中连续子数组和的最大值。
样例输入:{ 1, 5, -3, 6, -7}
样例输出:9 // 1 + 5 + -3 + 6
方法1:分治法,也是算法导论中介绍的一种方法。选取数组的中间元素a[n/2],那么子数组要么经过中间元素,要么在a[0]和中间元素之间,要么在中间元素和a[n]之间。如果经过中间元素,那么可以使其分别向两侧求最大值元素,合并即可得到总的数组最大值。
时间复杂度分析:T( n ) = 2*T( n/2 ) + Θ(n) -------> Θ(n logn)
这种算法时间复杂度为n logn,虽然相比蛮力法更快,但依然不是最优。因为每次递归求解子数组和时,都会产生重复求解的问题。因此可以动态规划对此问题进行改进。
方法2:动态规划。一维数组的子数组两端都是不固定的,我们可以先假设一端已经确定位置,那么只需确定另一端的位置即可。用辅助数组 c[r] 存储 a[0] -> a[r] 之间最大连续子数组和,其中 a[r] 是子数组的一个端点。当填充完c[0] -> c[n-1]后,c数组中的最大值即是我们要求的结果。
状态转移方程:c[r] = max( 0, c[r-1] ) + a[r] // a[r]为一个端点,如果c[r]非0,那么最大值应为 c[r] + a[r]
这里使用c数组来保存状态,实际程序中只需要一个变量即可。因为c的后一个状态只与前一个状态有关。
#include <stdio.h> int getMaxSubArraySum( int *a, int n) { int max_sum=0, c=0; for( int i=0; i<n; i++) { c = (c>0?c:0) + a[i]; // 状态转移方程 max_sum = c>max_sum ?c :max_sum; } return max_sum; } int main() { int a[] = { 1, 5, -3, 6, -7}; printf( "%d", getMaxSubArraySum( a, 5)); }
方法3:动态规划。这种方法与上一种方法类似,假设子数组一端已经确定位置,然后进行另一端位置的确定,不过这里使用的状态转移方程不同。用辅助数组s[i]记录 a[0] -> a[r] 元素之和,min记录 s[0] 到 s[r-1] 的最小值。那么 c[r] = s[r] - min 即以 a[r] 结束的子数组的最小值。最后求得c数组中的最大值即结果。
同方法二,s和c只需要取两个变量即可,没有必要设置为两个数组。
int getMaxSubArraySum( int *a, int n) { int max_sum=0, s=0, min=0; for( int i=0; i<n; i++) { s += a[i]; // sum of a[0...i] min = s<min ?s :min; max_sum = s-min>max_sum ?s-min :max_sum; } return max_sum; }