Zygote 是 Julia 上一个实现自动微分、自动求导的包，其中 @adjoint 宏是 Zygote 接口的一个重要组成部分。使用 @adjoint 可以自定义函数的后向传播。

Pullbacks

要理解 @adjoint 首先要先理解更为底层的函数 pullback。gradient 实际上就是 pullback 的语法糖（syntactic sugar）。

julia> y, back = Zygote.pullback(sin, 0.5)
(0.479425538604203, Zygote.var"#41#42"{Zygote.ZBack{ChainRules.var"#sin_pullback#1430"{Float64}}}(Zygote.ZBack{ChainRules.var"#sin_pullback#1430"{Float64}}(ChainRules.var"#sin_pullback#1430"{Float64}(0.8775825618903728))))

julia> y
0.479425538604203

给 pullback 输入两个参数 sin 和 0.5 分别代表要求导的函数和要求导的值，会得到两个输出：给定函数的结果 sin(0.5) 以及一个 pullback，也就是上面代码中的 back 变量。back 对函数 sin 进行梯度计算，接受的是一个派生，并且产生新的一个变量。。从数学上讲，就是 vector-Jacobian 积的实现。其中 $y=f(x)$ 和梯度 $\frac{\partial l}{\partial x}$ 写为 $\bar{x}$，pullback ${\mathcal{B}}_y$ 如下计算：
$$\bar{x}=\frac{\partial l}{\partial x}=\frac{\partial l}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}={\mathcal{B}}_y(\bar{y})$$
更为具体的讲，以上面的代码为例子，函数 $y=\sin (x)$. $\frac{\partial y}{\partial x}=\cos (x)$，所以 pullback 就为 $\bar{y}\cos (x)$，其中 $\bar{y}=\frac{\partial l}{\partial y}$。换句话说，pullback(sin, x) 与 dsin(x) = (sin(x), ȳ -> (ȳ * cos(x),)) 等价。

gradient 中函数 $l=f(x)$ 并且假设 $\bar{l}=\frac{\partial l}{\partial l}=1$，并且将其输入到 pullback 中。在 sin 的例子中，

julia> dsin(x) = (sin, ȳ -> (ȳ * cos(x),))
dsin (generic function with 1 method)

julia> function gradsin(x)
           _, back = dsin(x)
           back(1)
       end
gradsin (generic function with 1 method)

julia> gradsin(0.5)
(0.8775825618903728,)

julia> cos(0.5)
0.8775825618903728
                
julia> back(1)
(0.8775825618903728,)

个人理解，为什么前面要加一项 $\frac{\partial l}{\partial y}$，这是为了实现链式法则。比如假设最终的损失是 $l$，函数 $y(x)$，要得到损失函数 $l$ 对参数 $x$ 的微分 $\frac{\partial l}{\partial x}$，根据链式法则就是损失函数对函数 $y$ 的微分乘以函数对参数 $x$ 的微分，即 $\frac{\partial l}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}$。函数 $y$ 的 pullback 就是损失函数对函数 $y$ 的微分（用 $\bar{y}$ 表示）乘以函数对 $x$ 的微分。

对于上面的例子，pullback 函数返回的第一个结果为：假设函数 $y=\sin (x)$ 就是损失函数 $l$ 时，$x=0.5$ 时的结果，即 $\cos (0.5)$，并且返回的 back 就是一个关于 $\frac{\partial l}{\partial y}$ 的函数，可以看成是 $\mathcal{B}(\frac{\partial l}{\partial y})=\frac{\partial l}{\partial y}\cos (0.5)$。

假如 $l=0.5y=0.5\sin (x)$，我们可以得到 $\frac{\partial l}{\partial y}=0.5$，那么 $\frac{\partial l}{\partial x}=\mathcal{B}(\frac{\partial l}{\partial y})=\mathcal{B}(0.5)$。

参考：

[1] Custom Adjoints • Zygote