n_max <= 10^12
思路1:暴力求解每个数的约数,然后相加
时间复杂度:O(n ^ 3/2):枚举每个数O(n),对于每个数的分解需要O(n ^ 1/2)
思路2:从约数角度考虑,考虑每个可能约数的贡献
对于1,一定是任意数的约数,所以1的贡献为1*n
对于2,一定是任意偶数的约数,n中包括n/2个偶数,所以2的贡献为2*(n/2)
同理对于其他各个数也一样,最终的答案相加即可:这里的除法是向下取整
时间复杂度为O(n)
思路3:
来自博客:
https://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009
枚举i到n ^ 1/2,枚举 n/i 到n ^ 1/2,那么需要解决的问题是:枚举n/i 的时候,i的取值区间是多少,链接里有详细说明,这里最后给出思路2和思路3的代码实现
#include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; long long n,i,a,b; long long sum; int main(){ scanf("%lld",&n); //sum = 0; //for(i=1;i<=n;i++) // sum += i * (n / i); //printf("n = %lld\n",n); //printf("%lld\n",sum); sum = 0; for(i=1;i*i<=n;i++){ sum += i * (n / i); b = n/i; a = n/(i+1)+1; //if (i==1) printf("%lld %lld\n",a,b); sum += (a+b) * (b-a+1) / 2 * i; } i--; if (i*i == n) sum -= i * (n / i); printf("%lld\n",sum); return 0; }
链接后还有一个补充题:求前n个数的所有约数个数之和
分析思路一样:
考虑1的贡献为n,2的贡献为n/2,3的贡献为n/3,然后相加即可
同理的思路枚举即可