1 传统密码与公钥密码
公钥算法基于数学函数而不是基于替换和置换，公钥密码是非对称的。
现有公钥密码方法所需要的计算量大，因此取缔传统密码似乎不太可能。
传统密码中与密钥分配中心的回话是一件异常麻烦的事情，使用公钥密码实现密钥分配则非常简单。是市场，使用公钥密码也是需要某种形式的协议，该协议通常包含一个中心代理，并且他所包含的处理过程既不比传统密码中的那些过程更简单，也不必它更有效。
2 公钥密码体质的基本原理
公钥密码学的概念是为了解决传统密码中最困难的两个问题：
- 密钥分配
- 数字签名
公钥密码依赖于加密秘钥与加密秘钥相关但是不同的解密密钥：
- 仅根据密码算法和加密秘钥确定解密密钥在计算上是不可行的。（不能根据加密秘钥计算解密密钥）
另外有些算法，如RSA，还有如下特点：
- 密钥中的任何一个都可用来加密，另一个用来揭秘
公钥密码体制有6个组成部分：
- 明文：算法的输入
- 加密算法：加密算法对明文进行各种转换
- 公钥和私钥：算法的输入，对密钥中一个用于加密，一个用于解密
- 密文：算法的输出
- 解密算法：该算法接受密文和相应的密钥，并产生原始明文
其主要步骤是：
每一用户产生一堆密钥，用来加密和解密信息
每一用户将其中一个密钥存于公开的寄存器（翻译成存储器比较好吧？意思就是大家都可以访问的）或是其他可访问的文件中，该密钥称为公钥
若Bob要发消息个Alice，则Bob用Alice的公钥对消息加密
Alice收到消息后，勇气私钥对消息解密。
由于只有Alice知道其自身的私钥，所以其他的接受者均不能解密出消息
当接受者Alice使用自己的私钥加密信息，发送个发送者Bob，然后Bob使用公钥解密信息。因此只有Alice能够加密消息（因为只有Alice有私钥）。整个加密后的消息就是数字签名。该消息可用于认证数据源和数据完整性（主要是用于让对端知道，私钥确实是保存在我这里的）。当然为了验证数据源和数据的完整性，因此需要再发送信息的时候同时发送明文和密文，Bob接收到以后用来解密和明文对比。该过程只能保证信息不被修改，但是不能防止被窃听（因为信息中有明文）。解决方法是：利用自己的私钥加密数据，然后利用对端的公钥再次加密，同时发送这两个密文。
公钥密码体制的应用可分为三类：
- 加密/解密：发送方用接收方的公钥对消息加密。
- 数字签名：发送方使用其私钥对信息签名（也是加密）。签名可以通过整条消息加密或是对消息的一个小数据块加密产生，其中该小数据块是整条消息的函数
- 密钥交换：通信双方交换会话密钥。用于交换传统密钥。
公钥密码有：
- RSA：都可以
- 椭圆曲线：都可以
- Diffie-Hellman：只能用于密钥交换
- DSS：只能用于数字签名
公钥密码应该满足的要求：
- B产生一堆密钥：公钥和私钥。这个在计算上是容易的
- 已知公钥和要加密的消息M，发送方Alice产生显影的密文在计算上是容易的
- 接收方Bob使用气死要对接受的密文解密已恢复明文在计算上是容易的
- 一直公钥是，攻击者要确定私钥在计算上是不可行的
- 一直公钥和密文C，攻击者要恢复明文M在计算上是不可行的。
- 加密和解密函数的顺序是可以交换的。也就是说：\(M=D[PU_b,E(PR_B,M)]=D[PR_b,E(PU_b,M)]\)(这个可以不满足)
公钥密码分析
和对称密码一样，公钥密码也容易受穷举攻击，其解决方法也是使用长密钥。供药体质使用的是某种可以的数学函数，计算函数值的复杂性可能不是密钥长度的线性函数，而是比线性函数增长更快的函数，因此，为了抗穷举攻击，密钥必须足够长，同时为了便于实现加密和吉米，密钥又必须足够的短。在实际中，现已提出的密钥长度确实可以抗穷举攻击，但是它也使加密解密速度边忙，所以公钥密码目前仅限于密钥交换和签名中。
还有一种供给形式是公钥体制中特有的，这种攻击本质上是穷举消息攻击：假定要发送消息是56位的DES密钥，那么攻击者可以公钥对所有可能的密钥加密，并与传送的密钥匹配，从而可以解密任何消息。因此，无论是公钥体制的密钥有多长，这种攻击都可以转化为对56位密钥的穷举攻击。对抗这种攻击的方法是，在要发送的消息后附加一个随机数。
3 RSA加密算法
3.1 算法
RSA算法的过程为：
- 两个素数\(p\),\(q\),
- 计算\(n=p \times q\)，因为\(p\),\(q\)是素数，所以根据欧拉函数，小于\(n\)的互质的数一共有：\(\phi(n)=(p-1)(q-1)\)
- 挑选私钥：挑选一个\(e\)，需要满足\(gcd(\phi(n),e)=1;1<e<\phi(n)\)
- 计算公钥：然后根据\(d \equiv e^{-1} (mod \ \phi(n))\)
私钥为：\(\{d,n\}\),公钥为：\(\{e,n\}\).而需要加密的数据需要小于\(n\)(因为，要\(mod\ n\))
加密过程：明文分组\(M\),密文分组\(C\)
- 加密：\(C=M^e\ mod \ n\)
. 解密：\(M=C^d\ mod\ n=(M^e)^d\ mod \ n = M^{e\times d}\ mod \ n\)
证明：
首先证明：
。。后面看
3.2 算法优化
求幂运算：一次一个的乘法，优化为对半乘，例如\(3^13\)，可以，优化为：\((3^6)^2 \times 2\)，然后\(2^6\)可以递归的使用这种方法求解。
公钥\(e\)的选取：如果\(e\)选取的小，那么容易受到简单的攻击。
私钥的运算：
3.3 RSA安全性
RSA算法的攻击有如下5中方式：
- 穷举攻击
- 数学攻击，是指上是试图分解两个素数的乘积
- 计时攻击，依赖于解密算法的运行时间
- 基于硬件故障的攻击：这种方法应用产生签名过程中处理器发生的故障
- 选择密文攻击：运用了RSA算法的性质
数学攻击主要有以下三种：
- 分解\(n\)为两个素数因子，这样就可以计算出\(\phi(n)\),从而可以根据\(d\)计算\(e\)
- 直接猜测\(\phi(n)\)的值
- 直接确定\(d\)