【题目】*813. 最大平均值和的分组

给定数组 nums 和一个整数 k 。我们将给定的数组 nums 分成 最多 k 个相邻的非空子数组 。 分数 由每个子数组内的平均值的总和构成。
注意我们必须使用 nums 数组中的每一个数进行分组，并且分数不一定需要是整数。
返回我们所能得到的最大 分数 是多少。答案误差在 10-6 内被视为是正确的。

示例 1:

输入: nums = [9,1,2,3,9], k = 3
输出: 20.00000
解释: 
nums 的最优分组是[9], [1, 2, 3], [9]. 得到的分数是 9 + (1 + 2 + 3) / 3 + 9 = 20. 
我们也可以把 nums 分成[9, 1], [2], [3, 9]. 
这样的分组得到的分数为 5 + 2 + 6 = 13, 但不是最大值.

示例 2:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 4
输出: 20.50000

提示:

1 <= nums.length <= 100
1 <= nums[i] <= 104
1 <= k <= nums.length

【解题思路1】动态规划+前缀和

1.平均值和最大的分组的子数组数目必定是 k，证明参考官方题解
2.前缀和数组 prefix 记录到 i 为止的和，那到平均值就是 prefix[i] / i
3.dp[i][j] 表示 nums 在区间 [0,i−1] 被切分成 j 个子数组的最大平均值和，显然 i≥j，计算分两种情况讨论：

• 当 j=1时，1个分组，dp[i][j] 表示 [0,i−1] 的平均值；
• 当 j>1 时，此时dp[i][j]可以由dp[x][j - 1] + (sum[i] - sum[x]) / (i - x) 转移过来。x < j - 1显然无法成功分组，则 x 必须大于等于 j-1,即 x 从 j-1 枚举到 i-1。
  
  假设数组 nums 的长度为 n，那么 dp[n][k] 表示数组 nums 分成 k 个子数组后的最大平均值和，即最大分数。

class Solution {
    
    
    public double largestSumOfAverages(int[] nums, int k) {
    
    
        int n = nums.length;
        double[] prefix = new double[n + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
            prefix[i + 1] = prefix[i] + nums[i];
        }
        double[][] dp = new double[n + 1][k + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
            dp[i][1] = prefix[i] / i;
        }
        for (int j = 2; j <= k; j++) {
    
    
            for (int i = j; i <= n; i++) {
    
    
                for (int x = j - 1; x < i; x++) {
    
    
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[x][j - 1] + (prefix[i] - prefix[x]) / (i - x));
                }
            }
        }
        return dp[n][k];
    }
}