1597: [Usaco2008 Mar]土地购买
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Description
农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <
= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价
格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要
付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.
Input
* 第1行: 一个数: N
* 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽
Output
* 第一行: 最小的可行费用.
Sample Input
4
100 1
15 15
20 5
1 100
输入解释:
共有4块土地.
100 1
15 15
20 5
1 100
输入解释:
共有4块土地.
Sample Output
500
FJ分3组买这些土地:
第一组:100x1,
第二组1x100,
第三组20x5 和 15x15 plot.
每组的价格分别为100,100,300, 总共500.
FJ分3组买这些土地:
第一组:100x1,
第二组1x100,
第三组20x5 和 15x15 plot.
每组的价格分别为100,100,300, 总共500.
HINT
Source
题解:
我们需要维护x单调递增且y单调递减,这样我们才能方便找到一段区间内的费用.(x递减,y递增也可以).然后我们就可以轻松地写出dp方程:f[i]=min{f[j]+x[i]*y[j+1]} (j<i)
然后我们用之前的方法去对这个式子变形就可以套上斜率优化了,这里我就不写上来了,式子比较好推.不过这里的一个亮点就是如何维护x递增,y递减.
首先如果存在两个矩形,其中一个矩形的长宽都要比另一个矩形的长宽要大,那么我们很容易发现,这个矩形对答案的贡献是完全没有的.那么我们可以去除掉这些被覆盖的矩形.我们先对以x为第一关键字排序,然后建立一个队列,从1-n枚举每一个矩形,然后由于x是递增的,那么我们就只要找到队列里面第一个y大于这一个矩形的就可以了.最后再把它放入队列里面.之后这个队列的元素就是我们要得到的元素了.因为x是单调递增的,要使得矩形不互相覆盖,只有y单调递减才可以.
代码(一直WA):
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; struct aaa{ long long u,v; }a[100001]; long long n,i,tot,l,r,b[100001],c[100001],q[100001],f[100001]; bool cmp(aaa a,aaa b){ return a.u<b.u||(a.u==b.u&&a.v<b.v); } int main(){ scanf("%lld",&n); for(i=1;i<=n;i++){ scanf("%lld%lld",&a[i].u,&a[i].v); } sort(a+1,a+n+1,cmp); for(i=1;i<=n;i++){ while(tot&&c[tot]<=a[i].v)tot--; b[++tot]=a[i].u;c[tot]=a[i].v; } l=0;r=0; for(i=1;i<=tot;i++){ //printf("%d %d %d\n",i,l,r); while(l<r&&(double(f[q[l]+1]-f[q[l]])/(c[q[l]+1]-c[q[l]+2]))<double(b[i]))l++; f[i]=f[q[l]]+b[i]*c[q[l]+1]; while(l<r&&(double(f[i]-f[q[r]])/(c[q[r]+1]-c[i+1]))<(double(f[q[r]]-f[q[r-1]])/(c[q[r-1]+1]-c[q[r]+1])))r--; q[++r]=i; } printf("%lld",f[tot]); }
别人的AC代码:
#include <cstdio> #include <algorithm> using std:: max; using std:: min; typedef long long LL; static const int maxm=1e6+10; struct mtx{ LL x,y; bool operator < (const mtx &m) const { return x==m.x?y<m.y:x<m.x; } }A[maxm]; LL Q[maxm],xx[maxm],yy[maxm],f[maxm]; int cnt,n,head=1,tail=1; double slp(int j,int k){ return (double)(f[k]-f[j])/(yy[j+1]-yy[k+1]); } int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&A[i].x,&A[i].y); std::sort(A+1,A+n+1); for(int i=1;i<=n;i++){ while(cnt&&yy[cnt]<=A[i].y)cnt--; yy[++cnt]=A[i].y;xx[cnt]=A[i].x; } for(int i=1;i<=cnt;i++){ while(head<tail&&slp(Q[head+1],Q[head])<=xx[i])head++; f[i]=f[Q[head]]+yy[Q[head]+1]*xx[i]; while(head<tail&&slp(i,Q[tail])<=slp(Q[tail],Q[tail-1]))tail--; Q[++tail]=i; } printf("%lld\n",f[cnt]); return 0; }