【Applied Algebra】用于AT89C51单片机的代数控制方法(Talk for W.J.Leuang)
在本次讨论中我们将介绍一种基于计算交换代数的、可用于嵌入式设备的高效控制算法.
问题背景
考虑一个自动控制系统,单片机是一个接收系统状态反馈然后给出控制信号的中枢决策模块;其架构可以可视化如下:
那么问题是,如何使得单片机在接收了尽可能少的反馈-控制序列对样本集合 { u ( t ) , v ( t ) } \{u(t),v(t)\} { u(t),v(t)}之后,能够持续性地根据后续输入反馈 v ( t ) v(t) v(t)给出正确的控制信号 u ( t ) u(t) u(t);
用 F 2 \mathbb{F}_2 F2的多项式环模拟谓词逻辑
我们使用谓词逻辑来对系统进行描述性建模.比如可以用谓词逻辑模糊地描述控制规则温度很高(传动机) ∧ \land ∧流量过大(一回路管道) → \rightarrow →打开(2号止回阀),这样的经验式规则可以建立在精确数据信号之上,使得系统的鲁棒性更佳(模糊逻辑控制里使用隶属度函数来建模,非线性程度不够,现在我们尝试使用多项式环来模拟);
考虑这样一个同态映射
ρ : L → F 2 [ x 1 . . . x n ] \rho: \mathcal{L} \rightarrow \mathbb{F}_2[x_1...x_n] ρ:L→F2[x1...xn]
接下来我们可以验证对 ∀ p i , p j ∈ L \forall p_i,p_j \in \mathcal{L} ∀pi,pj∈L,有
ρ ( p i ⋄ p j ) = ρ ( p i ) ⊘ ρ ( p j ) = f i ⊘ f j \rho(p_i \diamond p_j) = \rho(p_i) \oslash \rho(p_j) = f_i \oslash f_j ρ(pi⋄pj)=ρ(pi)⊘ρ(pj)=fi⊘fj
其中 ⋄ \diamond ⋄为逻辑运算连接符号, ⊘ \oslash ⊘为环上的对应运算;
求解思路
定理.1(Ideal Elimination Therom)理想 I I I在 k [ x 1 . . . x n ] k[x_1...x_n] k[x1...xn]的消去理想 I l I_l Il对应的Groebner基可以由以下得到:
G l = G ∩ k [ x l + 1 . . . x n ] G_l = G \cap k[x_{l+1}...x_n] Gl=G∩k[xl+1...xn]
令反馈信号对应的谓词逻辑的表示理想为: I p = < f 1 . . . f m > ⊂ F 2 [ x 1 . . . x n ] I_p = <f_1...f_m> \subset \mathbb{F}_2[x_1...x_n] Ip=<f1...fm>⊂F2[x1...xn];
令关联信息对应的谓词逻辑的表示理想为: I r = < r 1 . . . r d > ⊂ F 2 [ z 1 . . . z h ] I_r = <r_1...r_d> \subset \mathbb{F}_2[z_1...z_h] Ir=<r1...rd>⊂F2[z1...zh];
令反馈信号对应的谓词逻辑的表示理想为: I q = < g 1 . . . g k > ⊂ F 2 [ z 1 . . . z h , x 1 . . . x n ] I_q = <g_1...g_k> \subset \mathbb{F}_2[z_1...z_h,x_1...x_n] Iq=<g1...gk>⊂F2[z1...zh,x1...xn];
那么依据上面的定理,求解过程即寻找满足 G p = G q ∩ F 2 [ x 1 . . . x n ] G_p=G_q\cap \mathbb{F}_2[x_1...x_n] Gp=Gq∩F2[x1...xn]的代数簇;
总结
对当前的工作有以下评价和反思:
- 目前看起来是可行的;
- 如何限制多项式计算过程中的次数上升问题;
- 符号计算如何在嵌入式设备里高效实现以优于当前的控制方案;