这道题的建模真的非常的秀, 非常牛逼。
先讲建模过程。源点到每一行连一条弧, 容量为这一行的和减去列数, 然后每一列到汇点连一条弧, 容量为这一列
的和减去行数, 然后每一行和列之间连一条弧, 容量为19。然后求最大流, 最后矩阵中每一个元素的值就是其所在
列和行所连的弧的容量加1.
让我来解释一下。设每一个行为xi, 每一列为yi。在网络流中, 每一个xi都有多条弧连到所有的yi, 在矩形当中
每一行的每一个元素都是每一列的一部分。在网络流中,对于一个yi来说, 所有的xi都有一条弧连到这个yi, 而
在矩阵中, 每一列都是由每一行的一部分构成的。发现了什么?矩阵这个模型和建出来的图其实是等价的。
那么如果要满足题目条件, 那就意味着每一行的和和每一列的和都是题目给出的和, 也就是说, 所有源点
到xi的弧都是满载的, 也就是流量等于容量, yi到汇点也是满载的, 这样才满足题目的条件。
那么什么时候是满载的呢?显然, 当满载的时候显然是网络流的最大流, 这个时候流量肯定是最大的。
因此, 我们求一波最大流, 然后每一条xi到yi的弧的流量加1就是矩阵中(xi, yi)元素的值。
另外, 因为网络流中会有0流, 而题目要求的是1到20, 直接做的话可能导致某些元素值为0.
为了避免这种情况, 把每一个元素减去1, 范围成了0到19, 就即使有0流也不怕了。
所以建图的时候每一列的和减去行数(列中每一个元素减去1), 行的和减去列数。
最后输出答案的时候加1就ok了。
#include<cstdio> #include<vector> #include<queue> #include<algorithm> #include<cstring> #define REP(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); i++) using namespace std; const int MAXN = 112; struct Edge { int from, to, cap, flow; Edge(int from, int to, int cap, int flow) : from(from), to(to), cap(cap), flow(flow) {}; }; vector<Edge> edges; vector<int> g[MAXN]; int h[MAXN], cur[MAXN], id[MAXN][MAXN], n, m, s, t; void AddEdge(int from, int to, int cap) { edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0)); edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0)); g[from].push_back(edges.size() - 2); g[to].push_back(edges.size() - 1); } bool bfs() { memset(h, 0, sizeof(h)); queue<int> q; q.push(s); h[s] = 1; while(!q.empty()) { int u = q.front(); q.pop(); REP(i, 0, g[u].size()) { Edge& e = edges[g[u][i]]; if(!h[e.to] && e.cap > e.flow) { h[e.to] = h[u] + 1; q.push(e.to); } } } return h[t]; } int dfs(int x, int a) { if(x == t || a == 0) return a; int flow = 0, f; for(int& i = cur[x]; i < g[x].size(); i++) { Edge& e = edges[g[x][i]]; if(h[x] + 1 == h[e.to] && (f = dfs(e.to, min(a, e.cap - e.flow))) > 0) { e.flow += f; edges[g[x][i] ^ 1].flow -= f; flow += f; if((a -= f) == 0) break; } } return flow; } int solve() { int ret = 0; while(bfs()) memset(cur, 0, sizeof(cur)), ret += dfs(s, 1e9); return ret; } int main() { int T; scanf("%d", &T); REP(kase, 1, T + 1) { scanf("%d%d", &n, &m); REP(i, 0, m + n + 2) g[i].clear(); edges.clear(); s = n + m, t = n + m + 1; int last = 0; REP(i, 0, n) { int x; scanf("%d", &x); AddEdge(s, i, x - last - m); last = x; } last = 0; REP(i, 0, m) { int x; scanf("%d", &x); AddEdge(n + i, t, x - last - n); last = x; } REP(i, 0, n) REP(j, 0, m) { AddEdge(i, n + j, 19); id[i][j] = edges.size() - 2; } solve(); printf("Matrix %d\n", kase); REP(i, 0, n) { REP(j, 0, m) printf("%d ", edges[id[i][j]].flow + 1); puts(""); } puts(""); } return 0; }