做科研时，曾花了段时间学习凸优化，后来发现ML中其应用也非常普遍，想来今后可能还会接触，干脆做个系统的总结，方便以后查询。

博文内容主要参考Boyd（Stanford）的Convex Optimization，配套的slides，以及部分网络材料，感兴趣的朋友可以一起学习探讨。

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1、前言

凸优化，是数学最优化的一个子领域，研究定义于凸集中的凸函数最小化的问题。虽然条件苛刻，但应用广泛，具有重要价值，主要体现在：

• 凸优化本身具有很好的性质
  一来，凸问题的局部最优解就是全局最优解。二来，凸优化理论中的Lagrange对偶，为凸优化算法的最优性与有效性提供了保证。近些年来关于凸问题的研究非常透彻，以至于只要把某一问题抽象为凸问题，就可以近似认为这个问题已经解决了。

• 凸优化具有很强扩展性
  对于非凸问题，通过一定的手段，要么可以等价地化归为凸问题，要么可以用凸问题去近似、逼近得到边界。例如，几何规划、整数规划，虽然本身是非凸的，但是可以借助凸优化手段去解，这就极大地扩张了凸优化的应用范围。
  以深度学习来说，其中关键的反向传播（Back Propagation）算法，本质就是凸优化算法中的梯度下降法，即使问题极度非凸，梯度下降还是有很好的表现，当然深度学习的机制还有待研究。

• 凸优化的应用十分广泛
  如线性回归、范数逼近、插值拟合、参数估计，以及许多的几何问题等。

• 针对其他非凸问题的研究还不充分
  凸优化之重要，从另一个角度说，就是我们没有找到很好的非凸优化的算法，这一部分还有许多学者都在努力。

虽然说凸优化的研究已经比较成熟，但由于还没有行业公认的通行解决方法，所以Boyd也说过“we cannot claim that solving general convex optimization problem is a technology, like solving least-squares or linear programming problems……it is fair to say that interior-point methods are approaching a technology”，即目前已有的凸优化方法还不能称之为技术。但还是说那句话，基本上，如果你把一个现实问题建成凸优化问题模型，你就可以认为这个问题已经被解决了。

多说几句，对于非凸优化中，凸优化同样起到很重要的作用：

• 解决一个非凸优化问题时，可以先试图建立一个简化的多凸优化模型，解出以后作为非凸问题的一个起始点

• 很多非凸优化问题的启发式算法的基础都是基于凸优化

• 可以先建立非凸优化的松弛问题，使用凸优化算法求解，然后作为非凸优化问题的上限或下限

那么，下面将分几章花些篇幅好好讲解下凸优化的主要知识点和常用结论。

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2、凸集

2.1 定义

A set $C$ is convex, if $\theta x + (1-\theta)y \in C$, for any $x,y \in C$ and $\theta \in R$ with $0 \le \theta \le 1$.

简言之，凸集即过集合C内任意两点的线段均在集合C内。

2.2 常用凸集

• $R^n$
• The non-negative orthant: $R_+^n$
• Norm ball: $\{x: \|x\| \le 1 \}$
• Affine subspace: $\{ x \in R^n: Ax=b,A \in R^{n \times n},b \in R^{n \times 1} \}$
• Polyhedra: $\{ x \in R^n: Ax \prec = b\}$
• Intersections of convex sets (Note here that the union of convex sets in general is not convex)
• Postive semidefinite cone: $S_+^n=\{ X \in S^n | X \succ = 0 \}$ (Note: 将前述半正定矩阵改为正定阵、负定阵、半负定阵，仍成立)

3、凸函数

3.1 定义

A function $f:R^n \to R$ is convex, if its domain $D(f)$ is a convex set, and if $f(\theta x + (1-\theta)y) \le \theta f(x) + (1-\theta)f(y)$ for all $x,y \in D(f)$ and $\theta \in R, 0 \le \theta \le 1$.

凸函数的一阶微分条件：

Suppose a function $f:R^n \to R$ is differentiable, then $f$ is convex if and only if: $D(f)$ is a convex set and for all $x,y \in D(f)$, $f(y) \ge f(x) + (\nabla_xf(x))^T(y-x)$.

凸函数的二阶微分条件：

Suppose a function $f:R^n \to R$ is twice differentiable, then $f$ is convex if and only if: $D(f)$ is a convex set and its Hessian is postive semidefinite.

3.2 常用凸函数

• 负熵函数：$xlogx$
• 范数函数：$\| x \|_p$
• $f(x)=max(x_1,...,x_n)$
• $f(x)=log(e^{x_1}+...+e^{x_n})$
• $f(x)=(\prod\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}} )^{1/n}, D(f)=R_{++}^n$
• $f(X)=log(\text{det}X), D(f)=S_{++}^n$

3.3 保凸运算

• 凸函数的非负加权和
• 凸函数与仿射变换的复合：$g(x)=f(Ax+b)$
• 逐点最大、最小值：$f(x)=max(f_1(x),...,f_n(x))$，$g(x)=inf_{y \in C} f(x,y)$
• 透视变换：$g(x,t)=tf(x/t)$

4、凸优化问题

4.1 定义

通常将一个优化问题写成以下标准形式：

$$\begin{array}{l} \min {\rm{ }} &f\left( x \right)\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.: }}&{g_i}\left( x \right) \le 0,{\rm{ }}i = 1,...,m\\ {\rm{ }}&{h_j}\left( x \right) = 0,{\rm{ }}j = 1,...,t \end{array}$$

当$f(x)$和$g_i(x)$均为凸函数，$h_j(x)$均为仿射函数时，上述优化问题称之为凸优化问题。

关于凸优化问题再补充几个特点：

• 一般没有解析解
• 不考虑等式约束时，计算复杂度大致正比于$\max \left\{ {{n^3},{n^2}m,F} \right\}$，其中$F$是对所有$g_i$及其一阶、二阶导的计算代价
• 虽然难以识别，但可以通过很多手段进行转化

4.2 优化问题的等价形式

注意以下等价形式不要求为凸问题，等价和相同不是一个概念。

• 变量替换
• 目标函数和约束函数的变换
• 松弛变量（不等式约束转变为等式约束加非负约束）
• 消除等式约束
• 消除线性等式约束
• 引入等式约束
• 优化部分变量
• 上境图问题形式
• 隐式与显式约束

4.3 常用凸优化问题

1）Least-squares（LS）

作为凸优化问题的一个特例，其成熟解法已经可以称之为technology。

对于Least-squares问题：$\min \left\| {Ax - b} \right\|_2^2$，其解析解为${x^*} = {\left( {{A^T}A} \right)^{ - 1}}{A^T}b$，对于$A \in {\mathbb{R}^{k \times n}}$，在不结构化情况下，计算复杂度为${\rm O}\left( {{n^2}k} \right)$。

2）Linear programming（LP）

作为凸优化问题的一个特例，虽然没有解析解，但仍有可靠高效的算法和工具解决，也可以称之为technology。

对于Linear programming问题：

$$\begin{array}{l} \min {\rm{ }} & {c^T}x+d\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.: }} & a_i^Tx \le {b_i},i = 1,...,m \end{array}$$
当 $m \ge n$时，计算复杂度为 ${\rm O}\left( {{n^2}m} \right)$。

但线性规划问题并不像前面的最小二乘问题那么好辨别，通常需要通过一些标准的小技巧将原问题转化为线性规划问题，如包含$l_1$范数或者$l_\infty$范数，或者分段线性函数的问题等。

3）Quadratic programming（QP）

$$\begin{array}{l} \min {\rm{ }} & \frac{1}{2} x^TPx+q^Tx+r\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.: }} & Gx \prec= h\\ & Ax=b\\ &P \in S_+^n \end{array}$$

4）Quadratically constrained quadratic programming（QCQP）

$$\begin{array}{l} \min {\rm{ }} & \frac{1}{2} x^TP_0x+q_0^Tx+r_0\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.: }} & \frac{1}{2} x^TP_ix+q_i^Tx+r_i\\ & Ax=b\\ &P_i \in S_+^n \end{array}$$

5）Second-order cone programming（SOCP）

$$\begin{array}{l} \min {\rm{ }} & f^Tx\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.: }} & \|A_ix+b\|_2 \le c_i^Tx+d_i\\ & Fx=g \end{array}$$

6）Semidefinite programming （SDP）

$$\begin{array}{l} \min {\rm{ }} & Tr(CX)\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.: }} & Tr(A_iX)=b_i\\ & X \succ= 0 \end{array}$$

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5、Lagrange Duality

对于有约束的优化问题，通过拉格朗日法可以将其转变为等价的无约束优化问题。在这个过程中，新构造的拉格朗日函数存在好玩的对偶性质，从而衍生出了对偶问题。原问题与对偶问题之间的特殊性质，为我们研究优化问题提供了新的方向和方法。

因此，这部分的思路是：对4.1定义的优化问题，通过拉格朗日法构造拉格朗日函数，从而生成原问题Primal problem和对偶问题Dual problem，然后介绍一些引理，揭示原问题与对偶问题之间的关系。

5.1 Primal problem

首先要求4.1提出的标准优化问题中的$f(x)$、$g_i(x)$和$h_j(x)$均为连续可微函数，构造广义拉格朗日函数

$$L(x;\alpha,\beta)=f(x)+\sum\limits_{i = 1}^m {{\alpha _i}{g_i}(x)}+\sum\limits_{j = 1}^t {{\beta _j}{h_j}(x)}$$
其中， $\alpha$和 $\beta$是拉格朗日乘子，且 $\alpha_i \ge 0$， $x$称为primal变量， $\alpha$和 $\beta$称为dual变量。
注意，$L(x;\alpha,\beta)$ 是关于 $\alpha$ 和 $\beta$ 的仿射函数。

从而，我们可以构造Primal problem：

$$\mathop {\min }\limits_x {\theta _P}(x) = \mathop {\min }\limits_x \left[ {\mathop {\max }\limits_{\scriptstyle\alpha ,\beta; {\alpha _i} \ge 0} L\left( {x;\alpha ,\beta } \right)} \right]$$

显然有：

$${\theta _P}(x) = f(x) + \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { 0,{\rm{ if }}x{\rm{ is primal feasible}}}\\ { + \infty ,{\rm{ if }} x {\rm{ isnot primal feasible}}} \end{array}} \right.$$

其中，primal feasible意味着$x$满足4.1优化问题中的所有约束条件。
注意，${\theta _P}(x)$是关于$x$的凸函数，因此，主问题求解的核心在内层最大化。

因此，可以看出这里构建的primal problem和4.1的优化问题是等价的，即同解。这样一来，就把原始优化问题表示成了广义拉格朗日函数的极小极大问题，我们定义primal problem的最优值$p^*=\mathop {\min }\limits_x {\theta _P}(x)={\theta _P}(x^*)$，称为primal problem的值。

5.2 Dual problem

好了，下面我们来构造神奇的Dual problem：

$$\mathop {\max }\limits_{\scriptstyle\alpha ,\beta; {\alpha _i} \ge 0} {\theta _D}(\alpha ,\beta) = \mathop {\max }\limits_{\scriptstyle\alpha ,\beta; {\alpha _i} \ge 0} \left[ {\mathop {\min }\limits_{x} L\left( {x;\alpha ,\beta } \right)} \right]$$

对于上述广义拉格朗日函数的极大极小问题，定义dual problem的最优值$d^*=\mathop {\min }\limits_{\scriptstyle\alpha ,\beta; {\alpha _i} \ge 0} {\theta _D}(\alpha,\beta) ={\theta _D}(\alpha^*,\beta^*)$，称为primal problem的值。
注意，${\theta _D}(\alpha,\beta)$是关于$\alpha$和$\beta$的凹函数，因此，对偶问题求解的核心在内层最小化。。

5.3 Primal problem与Dual problem的关系

1）Lemma 1

If $(\alpha, \beta)$ are dual feasible, then ${\theta _D}(\alpha,\beta) \le p^*$.

2）Lemma 2（Weak Duality）

For any pair of primal and dual problems, $d^* \le p^*$.

注意，此性质always holds，无论优化问题是凸的还是非凸的，通常用来寻找困难问题的下界。

3）Lemma 3 （Strong Duality）

For any pair of primal and dual problems, which satisfy certain conditions called constraint qualifications, then $d^* = p^*$.

实际上有不少constraint qualifications可以保证强对偶，我们介绍几种常用的constraint qualification：

• $f=f^{{**}}$ where $f$ is the perturbation function relating the primal and dual problems and $f=f^{{**}}$ is the biconjugate of $f$

• $f$ is convex and lower semi-continuous (equivalent to the first point by the Fenchel-Moreau theorem)

• the primal problem is a linear OP

• Slater’s condition for a convex optimization problem

其中，Slater’s condition更常用，we say that the problem satisfies Slater’s condition if it is strictly feasible, that is:

$$\exists {x_0} \in D(f):{g_i}\left( {{x_0}} \right) < 0,{\rm{ }}i = 1,...,m;{h_j}\left( {{x_0}} \right) = 0,{\rm{ }}j = 1,...,t$$

即，if the primal problem is convex, and satisfies the weak Slater’s condition, then strong duality holds.

注意，有些非凸问题也可以满足强对偶。

5.4 Complementary slackness

也称作KKT complementarity，即

If strong duality holds, then $\alpha _i^*{g_i}\left( {{x^*}} \right) = 0$ for any $i$.

直观来看，就是如果$\alpha _i^*>0$则${g_i}\left( {{x^*}} \right) = 0$，如果${g_i}\left( {{x^*}} \right)<0$则$\alpha _i^*=0$。

5.5 KKT条件

有以下逻辑：当strong duality存在时；$x^*$为primal optiaml和$\alpha^*,\beta^*$为dual optiaml，则KKT条件成立；当KKT条件成立，则$x^*$为primal optiaml和$\alpha^*,\beta^*$为dual optiaml。

下面介绍KKT条件：

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^*}{\rm{ is primal feasible}}}\\ {{\alpha ^*}{\rm{, }}{\beta ^*}{\rm{ is dual feasible}}}\\ {{\rm{complementary slackness}}}\\ {{\nabla _x}L\left( {{x^*};{\alpha ^*},{\beta ^*}} \right) = 0} \end{array}} \right.$$

5.6 常用案例

1） 如果$f(x),g_i(x)$是凸函数，$h_j(x)$是仿射函数，且存在$x$使$g_i(x)<0$对多有$i$成立，则存在${{x^*};{\alpha ^*},{\beta ^*}}$使得$x^*$是原始问题的解，${\alpha ^*},{\beta ^*}$是对偶问题的解，且$p^*=d^*=L\left( {{x^*};{\alpha ^*},{\beta ^*}}\right)$。

2） 如果$f(x),g_i(x)$是凸函数，$h_j(x)$是仿射函数，且存在$x$使$g_i(x)<0$对多有$i$成立，则“$x^*$是原始问题的解，${\alpha ^*},{\beta ^*}$是对偶问题的解”与“${{x^*};{\alpha ^*},{\beta ^*}}$满足KKT条件”是充要关系。