系列文章
《算法导论》学习（一）---- 插入排序和归并排序
《算法导论》学习（七）----堆排序和优先队列（C语言）
《算法导论》学习（八）----快速排序（C语言）
《算法导论》学习（九）----为什么比较排序算法时间复杂度的下界是确定的？
《算法学习》学习（十）----计数排序，基数排序，桶排序（C语言）
前言
本文介绍了决策树，主要是对于比较排序算法的一个总结性概述
针对算法的时间性能，进行总体性偏向于本质的研究
一、决策树
1.什么是决策树？
决策树是一颗完全二叉树，每一个结点都有两个孩子结点，它可以表示在给定输入规模的情况下，某一特定排序算法对所有元素的比较操作。其中，控制，数据移动等其它操作都被忽略了。
比较排序算法可以被抽象为一个决策树
2.决策树的规则
1.在决策树中，每一个结点都以** i : j i:j i:j**标记，代表 i 与 j 进行比较 i与j进行比较 i与j进行比较。其中， i i i和 j j j满足 1 ⩽ i , j ⩽ n 1\leqslant i,j\leqslant n 1⩽i,j⩽n，n是输入序列的元素个数。
2.决策树的路径上标记有比较的方式
3.比较成功的序列采用 ⟨ a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n ⟩ \langle{a_1,a_2,a_3,...,a_n}\rangle ⟨a1,a2,a3,...,an⟩的方式，该序列永远都是决策树的叶子结点
3.比较排序在决策树上如何运转？
下面这张给出了插入排序作用于三个元素输入序列的决策树情况
二、比较排序算法的下界
定理
在最坏情况下，任何比较排序算法都需要做 Ω ( n l g n ) 次比较 在最坏情况下，任何比较排序算法都需要做\Omega(nlgn)次比较 在最坏情况下，任何比较排序算法都需要做Ω(nlgn)次比较
分析
在决策树中，从根结点到任意可达的叶子结点之间最长简单路径的长度，表示的是对应的排序算法中最坏情况下的比较次数。因此，一个排序算法最坏情况下的比较次数就等于决策树的高度。
那么：
该决策树的下界，也就是比较排序算法运行时间的下界 该决策树的下界，也就是比较排序算法运行时间的下界 该决策树的下界，也就是比较排序算法运行时间的下界
具体分析：
考虑一颗高度为 h h h，具有 l l l个可达结点的决策树，它对应一个对n个元素输入的比较排序。输入数据有 n ! n! n!种可能的排列。
我们可以得到下面的式子：
n ! ⩽ l ⩽ 2 h n!\leqslant l\leqslant 2^h n!⩽l⩽2h
对该式两边取对数，我们有：
h ⩾ l g ( n ! ) = Ω ( n l g n ) h\geqslant lg(n!)=\Omega(nlgn) h⩾lg(n!)=Ω(nlgn)
此处的公式可以参考文章：
《算法导论》学习（二）---- 算法时间规模与函数的增长
具体的比较排序算法可以参考：
《算法导论》学习（一）---- 插入排序和归并排序
《算法导论》学习（七）----堆排序和优先队列（C语言）
《算法导论》学习（八）----快速排序（C语言）