一、求解
F(n)=aF(n−1)+b
解:
F(n)=aF(n−1)−ba−1+aba−1
F(n)+ba−1=a(F(n−1)+ba−1)
同理
F(n−1)+ba−1=a(F(n−2)+ba−1)
......
F(2)+ba−1=a(F(1)+ba−1)
F(n)=an−2(F(1)+ba−1)−ba−1
二、求解
F(n)=aF(n−1)+bF(n−2)
特征方程法
令
x+y=a,xy=−b
F(n)=(x+y)F(n−1)+xyF(n−2)
F(n)−xF(n−1)=y(F(n−1)+xF(n−2))=yn−2(F(2)−F(1))
F(n)−yF(n−1)=x(F(n−1)+yF(n−2))=xn−2(F(2)−F(1))
(x−y)F(n−1)=(xn−2−yn−2)(F(2)−F(1))
F(n)=xn−1−yn−1x−y(F(2)−F(1))
以上两种方法的本质都是构造一种函数
G(x)=dG(x−1)
. 但是构造的方式略有不同。