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前言
在二叉树的应用中,常常要求在树中查找某些结点,或者对树中的结点统一进行某种处理。因此,就提到了二叉树的遍历问题,对于线性结构来说,遍历是一个很容易解决的问题,而二叉树偏偏是一种非线性的结构,因此需要寻找一种规律。
二叉树由三个基本单元组成,分别是根结点、左子树及右子树。依次遍历这三个部分就能遍历整个二叉树,以V、L、R表示访问根结点、遍历左子树及遍历右子树,则有VLR、VRL、RLV、RVL、LVR、LRV六种遍历二叉树的方案。若规定左子树一定先于右子树被遍历,就只剩下三种情况。再根据根结点被访问的次序,可以分为可以分别命名为先(根)序遍历,中(根)序遍历,后(根)序遍历。
为了方便理解,定义一个二叉树的结点类型和二叉树类型;
template<class T> class BinaryTree; template<class T> class BinaryTreeNode { friend class BinaryTree<T>; public: BinaryTreeNode(); BinaryTreeNode(T D, BinaryTreeNode <T> *L=NULL, BinaryTreeNode <T> *R=NULL) { data = D; Lchild = L; Rchild = R; } private: T data; BinaryTreeNode <T> *Lchild ; BinaryTreeNode <T> *Rchild ; }; template<class T> class BinaryTree { public: BinaryTree(); BinaryTree(T D, BinaryTreeNode <T> *L=NULL, BinaryTreeNode <T> *R=NULL) { root = new BinaryTreeNode<T>(D, L, R); } BinaryTree(BinaryTreeNode <T> *Node) { root = Node; } void PreOrder(); void PreOrder(BinaryTreeNode <T> *current); void InOrder(); void InOrder(BinaryTreeNode <T> *current); void PastOrder(); void PastOrder(BinaryTreeNode <T> *current); private: BinaryTreeNode <T> *root=NULL; };
构建一个如下图的二叉树;
二叉树的遍历
先序遍历
先序遍历的规则如下:若当前二叉树为空,则返回空,否则
1. 访问根结点;
2. 先序遍历左子树;
3. 先序遍历右子树;
上图中的二叉树的先序遍历为:ABDEHIJKCFG
根据上面的关系,可以写出二叉树类的先序遍历的函数;
template<class T> void BinaryTree<T>::PreOrder() { cout << "先序遍历:"; PreOrder(root); //先序遍历 } template<class T> void BinaryTree<T>::PreOrder(BinaryTreeNode <T> *current) { if (current != NULL) //当current为空指针,说明已经到达叶结点 { cout << current->data<<" "; //首先输出当前结点的值 PreOrder(current->Lchild); //递归调用左子树 PreOrder(current->Rchild); //递归调用右子树 } }
中序遍历
中序遍历的规则如下:若当前二叉树为空,则返回空,否则
1. 中序列根结点的左子树;
2. 访问根结点;
3. 中序遍历根结点的右子树;
上图中的二叉树的中序遍历为:DBHEJIKAFCG
根据上面的关系,可以写出二叉树类的中序遍历的函数;
template<class T> void BinaryTree<T>::InOrder() { InOrder(root); //先序遍历 } template<class T> void BinaryTree<T>::InOrder(BinaryTreeNode <T> *current) { if (current != NULL) //当current为空指针,说明已经到达叶结点 { InOrder(current->Lchild); //递归调用左子树 cout << current->data << " "; //首先输出当前结点的值 InOrder(current->Rchild); //递归调用右子树 } }
后序遍历
后序遍历的规则如下:若当前二叉树为空,则返回空,否则
1. 后序列根结点的左子树;
2. 后序遍历根结点的右子树;
3. 访问根结点;
上图中的二叉树的后序遍历为:DHJKIEBFGCA
根据上面的关系,可以写出二叉树类的后序遍历的函数;
template<class T> void BinaryTree<T>::PastOrder() { PastOrder(root); //先序遍历 } template<class T> void BinaryTree<T>::PastOrder(BinaryTreeNode <T> *current) { if (current != NULL) //当current为空指针,说明已经到达叶结点 { PastOrder(current->Lchild); //递归调用左子树 PastOrder(current->Rchild); //递归调用右子树 cout << current->data << " "; //首先输出当前结点的值 } }
二叉树遍历的应用
计算节点个数
计算二叉树的节点的格式可以利用二叉树的遍历,常用的是后遍历,先遍历根结点的左子树和右子树,分别计算出左右子树的结点个数,然后加上根结点个数就是整个二叉树节点个数。
template<class T> int BinaryTree<T>::size(BinaryTreeNode <T> *current) { if (current == NULL){ return 0; } else{ return 1 + size(current->Lchild) + size(current->Rchild); } }
计算二叉树的高度
与计算二叉树节点高度类似,计算二叉树高度时如果高度为0,返回-1;否则按照后序遍历规则,先递归计算根结点的左子树和右子树的高度,再求两者中的较大者,并加1,最终得到整个二叉树的高度;
template<class T> int BinaryTree<T>::depth(BinaryTreeNode <T> *current) { if (current == NULL){ return -1; } else{ return 1 + Max(depth(current->Lchild), depth(current->Rchild)); } }
知道先序(后序)和中序求二叉树后序(先序)
有一些题目喜欢提这样的问题,以知道先序和中序求后序为例,例如已知先序是ABDEHIJKCFG,已知中序是DBHEJIKAFCG,求二叉树的后序排列。(知道先序和后序是无法求出中序的)
其实了解二叉树的遍历后,这个题目很简单。由于先序是先遍历根结点,先序排列的第一个点必定根结点,也就是说A是根结点;再看中序遍历,先遍历左子树,左子树遍历玩才会遍历根结点,因此,排在A前方的全是左子树上的点,排在A后方的全是,如果A在中序排列中也是排在第一个,说明它没有左子树。因此有了如下结构;
再看左子树,此时左子树的先序为BDEHIJK,中序为DBHEJIK。同样的道理,B为A的左子树的根结点,中序排列中在B前面的为左子树,排在B后侧的为右子树;如此反复进行就能得出二叉树的结构,再进行后序遍历就能得出后序排列。
当知道后序和中序排列求先序排列时,也是同样的道理,二叉树的根结点是最后被遍历到的点。
根据上面的关系,可以的写出重建二叉树的函数;
template<class T> BinaryTreeNode<T>* BinaryTreeNode<T>::reConstructBinaryTree(vector<T> pre, vector<T> in) { BinaryTreeNode<T> *BiTree=NULL; int size = pre.size(); if (size != 0) { BiTree->data = pre[0]; //根结点赋值 //构建左右子树的序列; vector<T> leftPre; vector<T> leftIn; vector<T> rightPre; vector<T> rightIn; //在中序排列中找到根结点的位置 int i = 0; for (; i<size; i++) { if (in[i] == pre[0]) { break; } } for (int j = 0; j < size; j++) { if (j<i) //中序序列:排在根结点之前的放入左子树 { if (j != i) { leftIn.push_back(in[j]); } } if (j>i) //中序序列:排在根结点之后的放入右子树 { rightIn.push_back(in[j]); } } for (int j = 1; j < size; j++) { if (j <= i) //先序序列:排在根结点之前的放入左子树 { leftPre.push_back(pre[j]); } if (j>i) //先序序列:排在根结点之后的放入右子树 { rightPre.push_back(pre[j]); } } if (leftIn.size() != 1){ BiTree->Lchild = reConstructBinaryTree(leftPre, leftIn); } if (rightIn.size() != 1){ BiTree->Rchild = reConstructBinaryTree(rightPre, rightIn); } } return BiTree; }
最后
二叉树的应用非常多,例如堆排序,二叉排序树,霍夫曼树等等,需要更多地去了解。
已完。