算法与数据结构面试宝典——回溯算法详解（二）

剪枝

复杂的回溯问题通常包含一个或多个约束条件，约束条件通常可用于“剪枝”。

!!! question “例题三”

在二叉树中搜索所有值为 $7$ 的节点，请返回根节点到这些节点的路径，**并要求路径中不包含值为 $3$ 的节点**。

为了满足以上约束条件，我们需要添加剪枝操作：在搜索过程中，若遇到值为 $3$ 的节点，则提前返回，停止继续搜索。

=== “Python”

```python title="preorder_traversal_iii_compact.py"
[class]{}-[func]{pre_order}
```

=== “C++”

```cpp title="preorder_traversal_iii_compact.cpp"
[class]{}-[func]{preOrder}
```

=== “Java”

```java title="preorder_traversal_iii_compact.java"
[class]{preorder_traversal_iii_compact}-[func]{preOrder}
```

=== “C#”

```csharp title="preorder_traversal_iii_compact.cs"
[class]{preorder_traversal_iii_compact}-[func]{preOrder}
```

=== “Go”

```go title="preorder_traversal_iii_compact.go"
[class]{}-[func]{preOrderIII}
```

=== “Swift”

```swift title="preorder_traversal_iii_compact.swift"
[class]{}-[func]{preOrder}
```

=== “JS”

```javascript title="preorder_traversal_iii_compact.js"
[class]{}-[func]{preOrder}
```

=== “TS”

```typescript title="preorder_traversal_iii_compact.ts"
[class]{}-[func]{preOrder}
```

=== “Dart”

```dart title="preorder_traversal_iii_compact.dart"
[class]{}-[func]{preOrder}
```

=== “Rust”

```rust title="preorder_traversal_iii_compact.rs"
[class]{}-[func]{pre_order}
```

=== “C”

```c title="preorder_traversal_iii_compact.c"
[class]{}-[func]{preOrder}
```

=== “Zig”

```zig title="preorder_traversal_iii_compact.zig"
[class]{}-[func]{preOrder}
```

剪枝是一个非常形象的名词。如下图所示，在搜索过程中，我们“剪掉”了不满足约束条件的搜索分支，避免许多无意义的尝试，从而提高了搜索效率。

在这里插入图片描述

框架代码

接下来，我们尝试将回溯的“尝试、回退、剪枝”的主体框架提炼出来，提升代码的通用性。

在以下框架代码中，state 表示问题的当前状态，choices 表示当前状态下可以做出的选择。

=== “Python”

```python title=""
def backtrack(state: State, choices: list[choice], res: list[state]):
    """回溯算法框架"""
    # 判断是否为解
    if is_solution(state):
        # 记录解
        record_solution(state, res)
        # 停止继续搜索
        return
    # 遍历所有选择
    for choice in choices:
        # 剪枝：判断选择是否合法
        if is_valid(state, choice):
            # 尝试：做出选择，更新状态
            make_choice(state, choice)
            backtrack(state, choices, res)
            # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            undo_choice(state, choice)
```

=== “C++”

```cpp title=""
/* 回溯算法框架 */
void backtrack(State *state, vector<Choice *> &choices, vector<State *> &res) {
    // 判断是否为解
    if (isSolution(state)) {
        // 记录解
        recordSolution(state, res);
        // 停止继续搜索
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (Choice choice : choices) {
        // 剪枝：判断选择是否合法
        if (isValid(state, choice)) {
            // 尝试：做出选择，更新状态
            makeChoice(state, choice);
            backtrack(state, choices, res);
            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            undoChoice(state, choice);
        }
    }
}
```

=== “Java”

```java title=""
/* 回溯算法框架 */
void backtrack(State state, List<Choice> choices, List<State> res) {
    // 判断是否为解
    if (isSolution(state)) {
        // 记录解
        recordSolution(state, res);
        // 停止继续搜索
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (Choice choice : choices) {
        // 剪枝：判断选择是否合法
        if (isValid(state, choice)) {
            // 尝试：做出选择，更新状态
            makeChoice(state, choice);
            backtrack(state, choices, res);
            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            undoChoice(state, choice);
        }
    }
}
```

=== “C#”

```csharp title=""
/* 回溯算法框架 */
void backtrack(State state, List<Choice> choices, List<State> res) {
    // 判断是否为解
    if (isSolution(state)) {
        // 记录解
        recordSolution(state, res);
        // 停止继续搜索
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    foreach (Choice choice in choices) {
        // 剪枝：判断选择是否合法
        if (isValid(state, choice)) {
            // 尝试：做出选择，更新状态
            makeChoice(state, choice);
            backtrack(state, choices, res);
            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            undoChoice(state, choice);
        }
    }
}
```

=== “Go”

```go title=""
/* 回溯算法框架 */
func backtrack(state *State, choices []Choice, res *[]State) {
    // 判断是否为解
    if isSolution(state) {
        // 记录解
        recordSolution(state, res)
        // 停止继续搜索
        return
    }
    // 遍历所有选择
    for _, choice := range choices {
        // 剪枝：判断选择是否合法
        if isValid(state, choice) {
            // 尝试：做出选择，更新状态
            makeChoice(state, choice)
            backtrack(state, choices, res)
            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            undoChoice(state, choice)
        }
    }
}
```

=== “Swift”

```swift title=""
/* 回溯算法框架 */
func backtrack(state: inout State, choices: [Choice], res: inout [State]) {
    // 判断是否为解
    if isSolution(state: state) {
        // 记录解
        recordSolution(state: state, res: &res)
        // 停止继续搜索
        return
    }
    // 遍历所有选择
    for choice in choices {
        // 剪枝：判断选择是否合法
        if isValid(state: state, choice: choice) {
            // 尝试：做出选择，更新状态
            makeChoice(state: &state, choice: choice)
            backtrack(state: &state, choices: choices, res: &res)
            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            undoChoice(state: &state, choice: choice)
        }
    }
}
```

=== “JS”

```javascript title=""
/* 回溯算法框架 */
function backtrack(state, choices, res) {
    // 判断是否为解
    if (isSolution(state)) {
        // 记录解
        recordSolution(state, res);
        // 停止继续搜索
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (let choice of choices) {
        // 剪枝：判断选择是否合法
        if (isValid(state, choice)) {
            // 尝试：做出选择，更新状态
            makeChoice(state, choice);
            backtrack(state, choices, res);
            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            undoChoice(state, choice);
        }
    }
}
```

=== “TS”

```typescript title=""
/* 回溯算法框架 */
function backtrack(state: State, choices: Choice[], res: State[]): void {
    // 判断是否为解
    if (isSolution(state)) {
        // 记录解
        recordSolution(state, res);
        // 停止继续搜索
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (let choice of choices) {
        // 剪枝：判断选择是否合法
        if (isValid(state, choice)) {
            // 尝试：做出选择，更新状态
            makeChoice(state, choice);
            backtrack(state, choices, res);
            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            undoChoice(state, choice);
        }
    }
}
```

=== “Dart”

```dart title=""
/* 回溯算法框架 */
void backtrack(State state, List<Choice>, List<State> res) {
  // 判断是否为解
  if (isSolution(state)) {
    // 记录解
    recordSolution(state, res);
    // 停止继续搜索
    return;
  }
  // 遍历所有选择
  for (Choice choice in choices) {
    // 剪枝：判断选择是否合法
    if (isValid(state, choice)) {
      // 尝试：做出选择，更新状态
      makeChoice(state, choice);
      backtrack(state, choices, res);
      // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
      undoChoice(state, choice);
    }
  }
}
```

=== “Rust”

```rust title=""

```

=== “C”

```c title=""
/* 回溯算法框架 */
void backtrack(State *state, Choice *choices, int numChoices, State *res, int numRes) {
    // 判断是否为解
    if (isSolution(state)) {
        // 记录解
        recordSolution(state, res, numRes);
        // 停止继续搜索
        return;
    }
    // 遍历所有选择
    for (int i = 0; i < numChoices; i++) {
        // 剪枝：判断选择是否合法
        if (isValid(state, &choices[i])) {
            // 尝试：做出选择，更新状态
            makeChoice(state, &choices[i]);
            backtrack(state, choices, numChoices, res, numRes);
            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            undoChoice(state, &choices[i]);
        }
    }
}
```

=== “Zig”

```zig title=""

```

接下来，我们基于框架代码来解决例题三。状态 state 为节点遍历路径，选择 choices 为当前节点的左子节点和右子节点，结果 res 是路径列表。

=== “Python”

```python title="preorder_traversal_iii_template.py"
[class]{}-[func]{is_solution}

[class]{}-[func]{record_solution}

[class]{}-[func]{is_valid}

[class]{}-[func]{make_choice}

[class]{}-[func]{undo_choice}

[class]{}-[func]{backtrack}
```

=== “C++”

```cpp title="preorder_traversal_iii_template.cpp"
[class]{}-[func]{isSolution}

[class]{}-[func]{recordSolution}

[class]{}-[func]{isValid}

[class]{}-[func]{makeChoice}

[class]{}-[func]{undoChoice}

[class]{}-[func]{backtrack}
```

=== “Java”

```java title="preorder_traversal_iii_template.java"
[class]{preorder_traversal_iii_template}-[func]{isSolution}

[class]{preorder_traversal_iii_template}-[func]{recordSolution}

[class]{preorder_traversal_iii_template}-[func]{isValid}

[class]{preorder_traversal_iii_template}-[func]{makeChoice}

[class]{preorder_traversal_iii_template}-[func]{undoChoice}

[class]{preorder_traversal_iii_template}-[func]{backtrack}
```

=== “C#”

```csharp title="preorder_traversal_iii_template.cs"
[class]{preorder_traversal_iii_template}-[func]{isSolution}

[class]{preorder_traversal_iii_template}-[func]{recordSolution}

[class]{preorder_traversal_iii_template}-[func]{isValid}

[class]{preorder_traversal_iii_template}-[func]{makeChoice}

[class]{preorder_traversal_iii_template}-[func]{undoChoice}

[class]{preorder_traversal_iii_template}-[func]{backtrack}
```

=== “Go”

```go title="preorder_traversal_iii_template.go"
[class]{}-[func]{isSolution}

[class]{}-[func]{recordSolution}

[class]{}-[func]{isValid}

[class]{}-[func]{makeChoice}

[class]{}-[func]{undoChoice}

[class]{}-[func]{backtrackIII}
```

=== “Swift”

```swift title="preorder_traversal_iii_template.swift"
[class]{}-[func]{isSolution}

[class]{}-[func]{recordSolution}

[class]{}-[func]{isValid}

[class]{}-[func]{makeChoice}

[class]{}-[func]{undoChoice}

[class]{}-[func]{backtrack}
```

=== “JS”

```javascript title="preorder_traversal_iii_template.js"
[class]{}-[func]{isSolution}

[class]{}-[func]{recordSolution}

[class]{}-[func]{isValid}

[class]{}-[func]{makeChoice}

[class]{}-[func]{undoChoice}

[class]{}-[func]{backtrack}
```

=== “TS”

```typescript title="preorder_traversal_iii_template.ts"
[class]{}-[func]{isSolution}

[class]{}-[func]{recordSolution}

[class]{}-[func]{isValid}

[class]{}-[func]{makeChoice}

[class]{}-[func]{undoChoice}

[class]{}-[func]{backtrack}
```

=== “Dart”

```dart title="preorder_traversal_iii_template.dart"
[class]{}-[func]{isSolution}

[class]{}-[func]{recordSolution}

[class]{}-[func]{isValid}

[class]{}-[func]{makeChoice}

[class]{}-[func]{undoChoice}

[class]{}-[func]{backtrack}
```

=== “Rust”

```rust title="preorder_traversal_iii_template.rs"
[class]{}-[func]{is_solution}

[class]{}-[func]{record_solution}

[class]{}-[func]{is_valid}

[class]{}-[func]{make_choice}

[class]{}-[func]{undo_choice}

[class]{}-[func]{backtrack}
```

=== “C”

```c title="preorder_traversal_iii_template.c"
[class]{}-[func]{isSolution}

[class]{}-[func]{recordSolution}

[class]{}-[func]{isValid}

[class]{}-[func]{makeChoice}

[class]{}-[func]{undoChoice}

[class]{}-[func]{backtrack}
```

=== “Zig”

```zig title="preorder_traversal_iii_template.zig"
[class]{}-[func]{isSolution}

[class]{}-[func]{recordSolution}

[class]{}-[func]{isValid}

[class]{}-[func]{makeChoice}

[class]{}-[func]{undoChoice}

[class]{}-[func]{backtrack}
```

根据题意，我们在找到值为 $7$ 的节点后应该继续搜索，因此需要将记录解之后的 return 语句删除。下图对比了保留或删除 return 语句的搜索过程。

在这里插入图片描述

相比基于前序遍历的代码实现，基于回溯算法框架的代码实现虽然显得啰嗦，但通用性更好。实际上，许多回溯问题都可以在该框架下解决。我们只需根据具体问题来定义 state 和 choices ，并实现框架中的各个方法即可。

常用术语

为了更清晰地分析算法问题，我们总结一下回溯算法中常用术语的含义，并对照例题三给出对应示例。

表常见的回溯算法术语

名词	定义	例题三
解 Solution	解是满足问题特定条件的答案，可能有一个或多个	根节点到节点 $7$ 的满足约束条件的所有路径
约束条件 Constraint	约束条件是问题中限制解的可行性的条件，通常用于剪枝	路径中不包含节点 $3$
状态 State	状态表示问题在某一时刻的情况，包括已经做出的选择	当前已访问的节点路径，即 `path` 节点列表
尝试 Attempt	尝试是根据可用选择来探索解空间的过程，包括做出选择，更新状态，检查是否为解	递归访问左（右）子节点，将节点添加进 `path` ，判断节点的值是否为 $7$
回退 Backtracking	回退指遇到不满足约束条件的状态时，撤销前面做出的选择，回到上一个状态	当越过叶结点、结束结点访问、遇到值为 $3$ 的节点时终止搜索，函数返回
剪枝 Pruning	剪枝是根据问题特性和约束条件避免无意义的搜索路径的方法，可提高搜索效率	当遇到值为 $3$ 的节点时，则终止继续搜索

!!! tip

问题、解、状态等概念是通用的，在分治、回溯、动态规划、贪心等算法中都有涉及。

优势与局限性

回溯算法本质上是一种深度优先搜索算法，它尝试所有可能的解决方案直到找到满足条件的解。这种方法的优势在于它能够找到所有可能的解决方案，而且在合理的剪枝操作下，具有很高的效率。

然而，在处理大规模或者复杂问题时，回溯算法的运行效率可能难以接受。

时间：回溯算法通常需要遍历状态空间的所有可能，时间复杂度可以达到指数阶或阶乘阶。
空间：在递归调用中需要保存当前的状态（例如路径、用于剪枝的辅助变量等），当深度很大时，空间需求可能会变得很大。

即便如此，回溯算法仍然是某些搜索问题和约束满足问题的最佳解决方案。对于这些问题，由于无法预测哪些选择可生成有效的解，因此我们必须对所有可能的选择进行遍历。在这种情况下，关键是如何进行效率优化，常见的效率优化方法有两种。

剪枝：避免搜索那些肯定不会产生解的路径，从而节省时间和空间。
启发式搜索：在搜索过程中引入一些策略或者估计值，从而优先搜索最有可能产生有效解的路径。

回溯典型例题

回溯算法可用于解决许多搜索问题、约束满足问题和组合优化问题。

搜索问题：这类问题的目标是找到满足特定条件的解决方案。

全排列问题：给定一个集合，求出其所有可能的排列组合。
子集和问题：给定一个集合和一个目标和，找到集合中所有和为目标和的子集。
汉诺塔问题：给定三个柱子和一系列大小不同的圆盘，要求将所有圆盘从一个柱子移动到另一个柱子，每次只能移动一个圆盘，且不能将大圆盘放在小圆盘上。

约束满足问题：这类问题的目标是找到满足所有约束条件的解。

$n$ 皇后：在 $\times n$ 的棋盘上放置 $n$ 个皇后，使得它们互不攻击。
数独：在 $\times 9$ 的网格中填入数字 $1$ ~ $9$ ，使得每行、每列和每个 $\times 3$ 子网格中的数字不重复。
图着色问题：给定一个无向图，用最少的颜色给图的每个顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。

组合优化问题：这类问题的目标是在一个组合空间中找到满足某些条件的最优解。

0-1 背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有一定的价值和重量，要求在背包容量限制内，选择物品使得总价值最大。
旅行商问题：在一个图中，从一个点出发，访问所有其他点恰好一次后返回起点，求最短路径。
最大团问题：给定一个无向图，找到最大的完全子图，即子图中的任意两个顶点之间都有边相连。

请注意，对于许多组合优化问题，回溯都不是最优解决方案。

0-1 背包问题通常使用动态规划解决，以达到更高的时间效率。
旅行商是一个著名的 NP-Hard 问题，常用解法有遗传算法和蚁群算法等。
最大团问题是图论中的一个经典问题，可用贪心等启发式算法来解决。