文章解决的是图片动画的问题。假设有源图片和驱动视频，并且其中的物体是同一类的，文章的方法让源图片中的物体按照驱动视频中物体的动作而动。
文章的方法只需要一个同类物体的视频集，不需要而外的标注。

方法

该方法基于self-supervised策略，主要方法是基于训练视频中的一帧图像和和学习到的动作表示，重建出训练视频。其中，动作表示由动作特定的关键点（motion-specific keypoint）和局部仿射变换（local affine transformations）组成。注意，因为是self-supervised的方法，这里的关键点是算法学出来的，不像人脸关键点检测算法中的关键点是人为指定有具体含义的。

框架图如上图所示，由两个部分组成，一个是运动估计模块，一个是图像生成模块。
运动估计模块的目的是估计从驱动视频的一帧$\mathbf{D}\in {\mathbb{R}}^{3\times H\times W}$到源图片$\mathbf{S}\in {\mathbb{R}}^{3\times H\times W}$的稠密运动场（dense motion field）。运动场${\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$将$\mathbf{D}$中每个像素位置映射到对应的$\mathbf{S}$。${\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}$也被称为反向光流（backward optical flow）。使用反向光流而不是正向光流，因为可以使用双线性采样以可微分的方式有效地实现后向扭曲。

仿射变换

这里先回忆一下放射变换（Affine transformation）。
在齐次坐标上，仿射变换可以用下面的式子表示：
$$\left[\begin{array}{c}\vec{y}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{B}& \vec{b}\\ 0,\dots ,0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\vec{x}\\ 1\end{array}\right]$$因为运算矩阵的最后一行是为了运算补齐用的，所以在2维图像上仿射变换由矩阵$\mathbf{A}=[\mathbf{B},\vec{b}]\in {\mathbb{R}}^{2\times 3}$定义。

运动估计模块

运动估计模块分为两个部分。

粗运动估计

粗运动估计预测关键点处的运动模式，也就是反向光流${\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}$。${\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}$用在关键点附近的一阶泰勒展开近似。

假设存在一个抽象参考帧$\mathbf{R}$。这样，我们需要估计两个变换：从$\mathbf{R}$到$\mathbf{S}$（${\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{R}}$）和从$\mathbf{R}$到$\mathbf{D}$（${\mathcal{T}}_{\mathbf{D}\leftarrow \mathbf{R}}$）。抽象参考帧的好处是可以让我们独立的处理$\mathbf{D}$和$\mathbf{S}$。
为了描述方便，用$\mathbf{X}$表示$\mathbf{S}$或者$\mathbf{D}$，用$p_1,\cdots ,p_K$表示抽象参考帧$\mathbf{R}$上的关键点的坐标，用$z$表示在其他帧上的点的坐标。我们估计在关键点$p_1,\cdots ,p_K$周围的${\mathcal{T}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{R}}$。具体而言，我们考虑${\mathcal{T}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{R}}$在关键点$p_1,\cdots ,p_K$的一阶泰勒展开：
$${\mathcal{T}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{R}}(p)={\mathcal{T}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{R}}(p_k)+(\frac{d{\mathcal{T}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{R}}(p)}{dp}{|}_{p=p_k})(p-p_k)+o(\Vert p-p_k\Vert )$$这可以看做一个仿射变换${\mathbf{A}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{R}}^k\in {\mathbb{R}}^{2\times 3}$，${\mathcal{T}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{R}}(p_k)$是平移参数，$\frac{d{\mathcal{T}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{R}}(p)}{dp}{|}_{p=p_k}$是线性映射的参数。

${\mathcal{T}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{R}}$用其在K个关键点处的值和Jacobian表示。
T X ← R ( p ) ≈ { { T X ← R ( p 1 ) , d T X ← R ( p ) d p ∣ p = p 1 } , ⋯   , { T X ← R ( p K ) , d T X ← R ( p ) d p ∣ p = p K } } \mathcal T_{\mathbf X \leftarrow \mathbf R}(p) \approx \{\{ \mathcal T_{\mathbf X \leftarrow \mathbf R}(p_1),\frac{d \mathcal T_{\mathbf X \leftarrow \mathbf R}(p)}{dp}|_{p=p_1}\}, \cdots,\{ \mathcal T_{\mathbf X \leftarrow \mathbf R}(p_K),\frac{d \mathcal T_{\mathbf X \leftarrow \mathbf R}(p)}{dp}|_{p=p_K}\}\} TX←R​(p)≈{ { TX←R​(p1​),dpdTX←R​(p)​∣p=p1​​},⋯,{ TX←R​(pK​),dpdTX←R​(p)​∣p=pK​​}}
我们假设${\mathcal{T}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{R}}$在每个关键点的局部是双射。则对于${\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}$，我们有
$${\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}={\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{R}}\circ {\mathcal{T}}_{\mathbf{D}\leftarrow \mathbf{R}}^{-1}$$用一阶泰勒展开近似有
$$\begin{gathered} {\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}(z)\approx {\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{R}}(p_k)+J_k(z-{\mathcal{T}}_{\mathbf{D}\leftarrow \mathbf{R}}(p_k)) \\ {J}_k=(\frac{d{\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{R}}(p)}{dp}{|}_{p=p_k})(\frac{d{\mathcal{T}}_{\mathbf{D}\leftarrow \mathbf{R}}(p)}{dp}{|}_{p=p_k}{)}^{-1} \end{gathered}$$ ${\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{R}}(p_k)$和${\mathcal{T}}_{\mathbf{D}\leftarrow \mathbf{R}}(p_k)$用基于U-Net的关键点预测网络（keypoint predictor network）预测。对每个关键点预测一个heatmap，总共预测K个heatmap。U-Net的decoder最后一层用softmax预测每个关键点的置信图（keypoint confidence map），也就是关键点在每个像素位置的置信度，满足${\sum }_{z\in \mathcal{Z}}{\mathbf{W}}^k(z)=1$，其中$\mathcal{Z}$表示所有的像素位置。
${\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{R}}(p_k)$和${\mathcal{T}}_{\mathbf{D}\leftarrow \mathbf{R}}(p_k)$相当于仿射变换中的平移参数，注意这里是两维的（z包含x和y）。平移参数用关键点置信图加权计算：
$$b^k=\sum _{z\in \mathcal{Z}}{\mathbf{W}}^k(z)z$$ $\frac{d{\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{R}}(p)}{dp}{|}_{p=p_k}$和$\frac{d{\mathcal{T}}_{\mathbf{D}\leftarrow \mathbf{R}}(p)}{dp}{|}_{p=p_k}$相当于仿射变换中的线性变换部分，他们作为仿射变换中剩下的4个参数用keypoint predictor network的额外的4个通道估计，每个关键点4个额外的通道。用$P_{ij}^k\in {\mathbb{R}}^{H\times W}$表示其中一个通道的估计值，其中 i , j ∈ { 1 , 2 } i,j\in\{1,2\} i,j∈{ 1,2}是仿射变换的坐标。线性变换的参数用关键点置信图加权融合：
$${\mathbf{B}}^k[i,j]=\sum _{z\in \mathcal{Z}}{\mathbf{W}}^k(z)P_{ij}^k(z)$$

密集运动估计

密集运动估计预测整个图像每个像素点的运动模式${\hat{\mathcal{T}}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}$。

我们使用卷积网络从$K$个关键点处的泰勒展开${\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}(z)$和源图像帧$\mathbf{S}$中估计${\hat{\mathcal{T}}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}$。
用关键点处的变换来扭曲源图像帧$\mathbf{S}$，可以得到$K$个变换后的图像${\mathbf{S}}^1,\cdots ,{\mathbf{S}}^K$。另外，考虑额外的图像${\mathbf{S}}^0=\mathbf{S}$作为背景。
对每一个关键点计算heatmap ${\mathbf{H}}_k(z)$表示每个变换在哪发生。
$${\mathbf{H}}_k(z)=exp(\frac{({\mathcal{T}}_{\mathbf{D}\leftarrow \mathbf{R}}(p_k)-z{)}^2}{\sigma })-exp(\frac{({\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{R}}(p_k)-z{)}^2}{\sigma })$$
将${\mathbf{H}}_k$和${\mathbf{S}}^0,\cdots ,{\mathbf{S}}^K$拼接输入基于U-Net的稠密运动网络（dense motion network）。dense motion network估计$K+1$个掩码 ${\mathbf{M}}_k,k=0,\cdots ,K$ 表示每个位置用哪个局部变换，满足${\sum }_{k=0}^K{\mathbf{M}}^k(z)=1$。最后的密集运动场表示为：
$${\hat{\mathcal{T}}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}(z)={\mathbf{M}}_{0}z+\sum _{k=1}^K{\mathbf{M}}_k({\mathcal{T}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{R}}(p_k)+J_k(z-{\mathcal{T}}_{\mathbf{D}\leftarrow \mathbf{R}}(p_k)))$$
表示为矩阵坐标变换有：
$$\mathbf{O}(z)={\mathbf{M}}^0(z)z+\sum _{k=1}^K{\mathbf{M}}^k(z){\mathbf{A}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}^k\left[\begin{array}{c}z\\ 1\end{array}\right]$$

图像生成模块

1.根据上面预测的${\hat{\mathcal{T}}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}$对$S$经过两个下采样卷积的特征图（feature map ）$\xi \in {\mathbb{R}}^{H^{\prime }\times W^{\prime }}$使用warp操作。
2.在$S$中存在遮挡的时候，$D^{\prime }$并不能完全通过warp源图像获得，而是需要inpaint。所以，预测一个遮挡图（occlusion map）${\hat{\mathcal{O}}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}\in [0,1{]}^{H^{\prime }\times W^{\prime }}$，表示源图像需要被inpaint的区域。occlusion map通过在dense motion network后添加一层来预测。
经过转换的feature map可以表示为：
$${\xi }^{\prime }={\hat{\mathcal{O}}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}}\odot f_w(\xi ,{\hat{\mathcal{T}}}_{\mathbf{S}\leftarrow \mathbf{D}})$$ $f_w$表示反向变形（back-warping）操作。经过转换的feature map输入到图像生成模块的后面层处理，最后生成图像。

训练

训练的损失由多项组成。首先是基于perceptual loss的reconstruction loss。该loss用预训练的VGG-19网络作为特征提取器，对比重建帧和驱动视频的真实帧的特征差异。

另外考虑到关键点的学习是无标签的，这会导致不稳定的表现，引入Equivariance constraint用在无监督关键点的学习中。假设图片$X$经过一个已知的变换${\mathcal{T}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{Y}}$得到$Y$。Equivariance constraint要求：
$${\mathcal{T}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{R}}\equiv {\mathcal{T}}_{\mathbf{X}\leftarrow \mathbf{Y}}\circ {\mathcal{T}}_{\mathbf{Y}\leftarrow \mathbf{R}}$$通过对两边进行一阶泰勒展开有，并使用L1 loss分别约束关键点处的值和Jacobian。

参考资料

《First Order Motion Model for Image Animation》
《Motion Representations for Articulated Animation》