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作者:yxc
斐波那契问题定义
定义
是多少。
为了避免考虑整数溢出问题,我们求
%p的值,
。
算法1 直接递归
递归计算的节点个数是 级别的,存在大量重复计算,递归层数太多会爆栈。
const int MOD=1000000007;
int Fibonacci(int n)
{
if(n<=1) return 1;
return (f(n-1)+f(n-2))%MOD;
}
算法2 记忆化搜索
(i)用一个大数组记录中间结果
如果已经计算过就直接查表,否则再递归计算,总共要计算n个状态,复杂度为 。
const int MOD=1000000007;
int a[100000];
int Fibonacci(int n)
{
if(n<=1) return 1;
if(a[n]) return a[n];
return (f(n-1)+f(n-2))%MOD;
}
(ii)用数组中保存的值循环计算
const int MOD=1000000007;
int a[10000000];
int Fibonacci(int n)
{
a[0]=a[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];
a[i] %= MOD;
}
}
(iii)滚动变量
const int MOD = 1000000007;
int f4(int n)
{
int x, y, z;
x = y = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
z = (x + y) % MOD;
x = y;
y = z;
}
return z;
}
快速幂算法
快速幂算法旨在计算 时通过用二进制拆分b减少计算量。
如b=11时,11的二进制表示为1011,可以将11拆分为 ,从而将计算转化为 ,使复杂度降至 。
快速幂算法的代码:
int qmi(int m, int k, int p)
{
int res = 1, t = m;
while (k)
{
if (k&1) res = res * t % p;//检查二进制该位是否为1
t = t * t % p;//累乘t以备使用
k >>= 1;
}
return res;
}
利用这个矩阵的n次方来计算累加,此处用矩阵的快速幂算法
void mul(int a[][2], int b[][2], int result[][2])
{
int temp[][2] = {{0, 0}, {0, 0}};
for (int i = 0; i < 2; i ++ )
for (int j = 0; j < 2; j ++ )
for (int k = 0; k < 2; k ++ )
{
long long x = temp[i][j] + (long long)a[i][k] * b[k][j];
temp[i][j] = x % MOD;
}
for (int i = 0; i < 2; i ++ )
for (int j = 0; j < 2; j ++ )
result[i][j] = temp[i][j];
}
int f_final(long long n)
{
int x[2] = {1, 1};
int a[2][2] = {{1, 1}, {1, 0}};
int res[][2] = {{1, 0}, {0, 1}};
int t[][2] = {{1, 1}, {1, 0}};
long long k = n - 1;
while (k)
{
if (k&1) mul(res, t, res);
mul(t, t, t);
k >>= 1;
}
int c[2] = {0, 0};
for (int i = 0; i < 2; i ++ )
for (int j = 0; j < 2; j ++ )
{
long long r = c[i] + (long long)x[j] * res[i][j];
c[i] = r % MOD;
}
return c[0];
}
int main()
{
long long n ;
cin >> n;
cout << f_final(n) << endl;
return 0;
}
今天过的开不开心呀?