线性规划的标准形

标准形的规则

  • 目标函数取最小化(min)
  • 约束条件中必须为等式,且等式右边不能是负数
  • 所有变量的取值必须非负

例子

题目

请写出下列线性规划的标准形:

max\ z=3x_1-2x_2+x_3

s.t.\ x_1+3x_2-3x_3\leq 10

4x_1-x_2-5x_3\leq -30

x_1\geq 0, x_2\geq 0,x_3任意

解答

对于第一行来说,我们只需将max换成min即可:min\ z'=-3x_1+2x_2-x_3

对于第二行来说,我们只需将左边加上一个变量x_4即可:x_1+3x_2-3x_3+x_4=10

对于第三行来说,我们需要先将右边的数字变为非负:-4x_1+x_2+5x_3\geq 30,在把符号变成等号:-4x_1+x_2+5x_3-x_5=30

对于所有行来说来说,我们需要把任意变量x_3换成x_3'-x_3''x_3'\geqslant 0,x_3''\geqslant 0

因此最后的标准形为:

min\ z'=-3x_1+2x_2-x_3'+x_3''

x_1+3x_2-3x_3'+3x_3''+x_4=10

-4x_1+x_2+5x_3'-5x_3''-x_5=30

x_1,x_2,x_3',x_3'',x_4,x_5\geqslant 0

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