BZOJ2154 Crash的数字表格
Description
今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b,LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如,LCM(6, 8) = 24。回到家后,Crash还在想着课上学的东西,为了研究最小公倍数,他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字,其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下: 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格,Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题:这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时,Crash就束手无策了,因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大,Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。
输入的第一行包含两个正整数,分别表示N和M。
Output
输出一个正整数,表示表格中所有数的和mod 20101009的值。
4 5
Sample Output
122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 10^7。
我也不知道为什么,常数卡了半天。。。
也不知是不是没有卡LL和int的常数。。。
反正后面卡过去了。。。
下面说正事。。。
题目要求计算的是:
∑ni=1∑mj=1lcm(i,j)
换成gcd形式:
∑ni=1∑mj=1i∗jgcd(i,j)
定义
up=min(n,m)
枚举
gcd(i,j)=d
:
∑upd=1∑ni=1∑mj=1i∗jd[gcd(i,j)=d]
把i和j同时除以d:
∑upd=1∑⌊nd⌋i=1∑⌊md⌋j=1i∗jdd2[gcd(i,j)=1]
∑upd=1d∑⌊nd⌋i=1∑⌊md⌋j=1i∗j[gcd(i,j)=1]
利用莫比乌斯函数的性质进行展开:
∑upd=1d∑⌊nd⌋i=1∑⌊md⌋j=1i∗j∑⌊upd⌋x|gcd(i,j)μ(x)
把x提到前面进行枚举:
∑upd=1d∑⌊upd⌋x=1μ(x)∑⌊nd⌋i=1∑⌊md⌋j=1i∗j[x|i,x|j]
定义
p=ix
,
q=jx
,改为枚举p和q:
∑upd=1d∑⌊upd⌋x=1μ(x)∑⌊nd∗x⌋p=1∑⌊md∗x⌋q=1x2∗p∗q
∑upd=1d∑⌊upd⌋x=1μ(x)x2{∑⌊nd∗x⌋p=1∗p}{∑⌊md∗x⌋q=1∗q}
发现形如
{∑⌊nd∗x⌋p=1∗p}
和
{∑⌊md∗x⌋q=1∗q}
形式的式子可以在
O(1)
时间内求出,用
C(u)
替换
{∑up=1∗p}
:
∑upd=1d∑⌊upd⌋x=1μ(x)x2C(⌊nd∗x⌋)C(⌊md∗x⌋)
定义
k=d∗x
,所以
x=kd
,将x替换掉:
∑upd=1d∑upd|kμ(kd)∗(kd)2C(⌊nk⌋)C(⌊mk⌋)
将对
C(⌊nk⌋)C(⌊mk⌋)
的计算提前,发现可以形成下底整数分块形式,并将对d的枚举向后移动:
∑upk=1C(⌊nk⌋)C(⌊mk⌋)∑d|kμ(kd)∗k2d
因为d遍历k的左右因子,所以可以用d来代替
kd
:
∑upk=1C(⌊nk⌋)C(⌊mk⌋)∑d|kμ(d)∗k∗d
∑upk=1C(⌊nk⌋)C(⌊mk⌋)k∑d|kμ(d)∗d
现在只需要解决对
∑d|kμ(d)∗d
的计算,很容易发现,这个式子是积性的,所以我们可以将它
O(n)
线性筛出来:
如果定义
F(k)=∑d|kμ(d)∗d
对于数i和质数p:
1
F[i∗p]=F[i] (i mod p==0)
2
F[i∗p]=F[i]∗F[p] (i mod p!=0)
第二种情况显然成立,现在对第一种情况进行说明:
如果对于i*p,p这个质因子的次数大于一,那么如果遍历到含有
pt (t>1)
因子,根据莫比乌斯函数,当前因子的贡献为0,所以易得
F[i∗p]=F[i]∗F[p] (i mod p!=0)
然后这题就做完了
using namespace std;
int n,m,ans=0,tot=0;
bool mark[N];
int pri[N],F[N],S[N];
void init(){
F[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!mark[i])pri[++tot]=i,F[i]=1-i;
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++){
mark[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0)F[i*pri[j]]=F[i];
else F[i*pri[j]]=1ll*F[i]*F[pri[j]]%Mod;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)F[i]=(1ll*F[i]*i%Mod+F[i-1])%Mod;
for(int i=1;i<=m;i++)S[i]=(1ll*(i+1)*i/2)%Mod;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m)swap(n,m);
init();
for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
j=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans=(ans+1ll*(F[j]-F[i-1]+Mod)*S[n/i]%Mod*S[m/i]%Mod+Mod)%Mod;
}
printf("%d",(ans+Mod)%Mod);
return 0;
}