考试公平性是评价考试质量的重要方面,也是一个受到广泛关注的问题。现代教育虽然趋向现代化,许多教学可以通过计算机实现,但也有许多的问题是计算机无法解决的, 由于绝大部分的考试是离不开评委亲自的审查,因为许多的学术问题上,计算机是不会知道的,所以工作量只可以是人为的评改。体现最主要的,就是试卷的合理均匀的分配。
在大学生数学建模竞赛的评卷工作中,M个评委( M个评委来自不同的学校)要完成N份试卷的打分,竞赛试卷来自K个学校,第i个学校有竞赛试卷Ni份,为节省人力,每份试卷只要由其中p(p<M <K << N)个评委进行打分就行了。
1.根据回避原则,要求评委不能阅自已学校的试卷。要求给出试卷合理的均匀分配方案的数学模型,使各评委的阅卷工作量均衡,试卷分配均衡分散。
2.由于特殊原因有P个学校的评委不能参评,现有两种选择:(1)由M-P个评委参评;(2)从能参评的学校中继续抽取P个评委。试讨论不同选择对模型1的修正。
问题一:
对于问题一很明显是一个线性规划问题,为了解决这个问题,可以使用组合优化的方法来设计一个试卷分配方案,以实现评委的阅卷工作量均衡和试卷分配均衡分散。
假设有M个评委和N份试卷,评委编号为1到M,试卷编号为1到N。我们引入以下变量和参数:
变量:
- xij:如果评委i被分配给试卷j进行评分,则xij为1,否则为0。其中,i的取值范围是1到M,j的取值范围是1到N。
参数:
- K:学校的总数
- Ni:学校i的试卷数量
- p:每份试卷需要评分的评委数量
目标函数:
目标是使评委的阅卷工作量尽可能均衡,可以使用评委的总工作量的方差来衡量。定义总工作量W为所有评委的工作量之和,则目标函数可以表示为最小化:
minimize Σ(i=1 to M) [(Σ(j=1 to N) xij) - (W/M)]^2
约束条件:
1. 每份试卷只能由p个评委进行打分:
Σ(i=1 to M) xij = p, for all j = 1 to N
2. 评委不能评阅自己学校的试卷:
xij = 0, for all i = 1 to M and j = 1 to N where i和j表示同一所学校
3. 所有的xij必须为0或1:
xij ∈ {0, 1}, for all i = 1 to M and j = 1 to N
相应代码如下:(完整文档见文末链接)
自定义参数代入程序查看结果:
问题二:
问题二实则是在问题所构建的模型上增加约束条件,具体建模过程见文末链接:
问题二代码实现:具体过程见文末链接: