1.最长上升子序列
给定一个长度为 N N N 的数列,求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
输入格式
第一行包含整数 N。
第二行包含 N个整数,表示完整序列。
输出格式
输出一个整数,表示最大长度。
数据范围
1 ≤ N ≤ 1000 , 1≤N≤1000, 1≤N≤1000,
− 1 0 9 ≤ 数列中的数 ≤ 1 0 9 −10^{9}≤数列中的数≤10^{9} −109≤数列中的数≤109
输入样例:
7
3 1 2 1 8 5 6
输出样例:
4
题解
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N];//序列
int f[N];//状态
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i = 1; i <= n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i = 1; i <= n;i++)
{
f[i] = 1;//只有i一个数a[i]
for(int j = 1;j < i;j++)
if(a[j] < a[i])
f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
}
int res = 0;
//枚举所有终点
for(int i = 1; i <= n;i++) res = max(res,f[i]);
printf("%d",res);
return 0;
}
2.怪盗基德的滑翔翼
怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗,专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。
而他最为突出的地方,就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵,而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。
有一天,怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石,不料却被柯南小朋友识破了伪装,而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。
不得已,怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。
假设城市中一共有N幢建筑排成一条线,每幢建筑的高度各不相同。
初始时,怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。
他可以选择一个方向逃跑,但是不能中途改变方向(因为中森警部会在后面追击)。
因为滑翔翼动力装置受损,他只能往下滑行(即:只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑)。
他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部,这样可以减缓下降时的冲击力,减少受伤的可能性。
请问,他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)?
输入格式
输入数据第一行是一个整数 K K K,代表有 K K K组测试数据。
每组测试数据包含两行:第一行是一个整数 N N N,代表有N幢建筑。第二行包含 N N N个不同的整数,每一个对应一幢建筑的高度h,按照建筑的排列顺序给出。
输出格式
对于每一组测试数据,输出一行,包含一个整数,代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。
数据范围
1 ≤ K ≤ 100 , 1≤K≤100, 1≤K≤100,
1 ≤ N ≤ 100 , 1≤N≤100, 1≤N≤100,
0 < h < 10000 0<h<10000 0<h<10000
输入样例:
3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10
输出样例:
6
6
9
题解
代码实现
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int a[N],f[N];
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",&a[i]);
//正向求解LTS问题
int res = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 1;j < i;j++)
if(a[i] > a[j])
f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
res = max(res,f[i]);
}
//反向求解LTS问题
for(int i = n;i;i--)
{
f[i] = 1;
for(int j = n;j > i;j--)
if(a[i] > a[j])
f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
res = max(res,f[i]);
}
printf("%d\n",res);
}
return 0;
}
3.登山
五一到了,ACM队组织大家去登山观光,队员们发现山上一共有N个景点,并且决定按照顺序来浏览这些景点,即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。
同时队员们还有另一个登山习惯,就是不连续浏览海拔相同的两个景点,并且一旦开始下山,就不再向上走了。
队员们希望在满足上面条件的同时,尽可能多的浏览景点,你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么?
输入格式
第一行包含整数 N N N,表示景点数量。
第二行包含 N N N个整数,表示每个景点的海拔。
输出格式
输出一个整数,表示最多能浏览的景点数。
数据范围
2 ≤ N ≤ 1000 2≤N≤1000 2≤N≤1000
输入样例:
8
186 186 150 200 160 130 197 220
输出样例:
4
题解
登山是将左右两边相加,而怪盗基德的滑翔翼是求左右两边的最大值。
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N];
int f[N],g[N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i = 1; i <= n;i++) scanf("%d",&a[i]);
//从左到右求f
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 1;j < i;j++)
if(a[i] > a[j])
f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
}
//从右到左求g
for(int i = n;i;i--)
{
g[i] = 1;
for(int j = n;j > i;j--)
if(a[i] > a[j])
g[i] = max(g[i],g[j] + 1);
}
int res = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++) res = max(res,f[i] + g[i] - 1);
printf("%d\n",res);
return 0;
}
4.合唱队形
N N N 位同学站成一排,音乐老师要请其中的 ( N − K ) (N−K) (N−K)位同学出列,使得剩下的 K K K位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形:设 K K K位同学从左到右依次编号为 1 , 2 … , K 1,2…,K 1,2…,K,他们的身高分别为 T 1 , T 2 , … , T K T_{1},T_{2},…,{T}_{K} T1,T2,…,TK, 则他们的身高满足 T 1 < … < T i > T i + 1 > … > T K ( 1 ≤ i ≤ K ) T_{1}<…<T_{i}>T_{i+1}>…>T_{K}(1≤i≤K) T1<…<Ti>Ti+1>…>TK(1≤i≤K)。
你的任务是,已知所有 N N N位同学的身高,计算最少需要几位同学出列,可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入格式
输入的第一行是一个整数 N N N,表示同学的总数。
第二行有 N N N个整数,用空格分隔,第 i i i个整数 T i T_{i} Ti是第 i i i 位同学的身高(厘米)。
输出格式
输出包括一行,这一行只包含一个整数,就是最少需要几位同学出列。
数据范围
2 ≤ N ≤ 100 , 2≤N≤100, 2≤N≤100,
130 ≤ T i ≤ 230 130≤T_{i}≤230 130≤Ti≤230
输入样例:
8
186 186 150 200 160 130 197 220
输出样例:
4
题解
与登山类似,只是修改代码的输出
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int a[N];
int f[N],g[N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i = 1; i <= n;i++) scanf("%d",&a[i]);
//从左到右求f
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 1;j < i;j++)
if(a[i] > a[j])
f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
}
//从右到左求g
for(int i = n;i;i--)
{
g[i] = 1;
for(int j = n;j > i;j--)
if(a[i] > a[j])
g[i] = max(g[i],g[j] + 1);
}
int res = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++) res = max(res,f[i] + g[i] - 1);
printf("%d\n",n - res);
return 0;
}
5.友好城市
Palmia国有一条横贯东西的大河,河有笔直的南北两岸,岸上各有位置各不相同的 N N N个城市。
北岸的每个城市有且仅有一个友好城市在南岸,而且不同城市的友好城市不相同。
每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市,但是由于河上雾太大,政府决定避免任意两条航道交叉,以避免事故。
编程帮助政府做出一些批准和拒绝申请的决定,使得在保证任意两条航线不相交的情况下,被批准的申请尽量多。
输入格式
第 1 1 1行,一个整数 N N N,表示城市数。
第 2 2 2行到第 n + 1 n+1 n+1行,每行两个整数,中间用 1 1 1个空格隔开,分别表示南岸和北岸的一对友好城市的坐标。
输出格式
仅一行,输出一个整数,表示政府所能批准的最多申请数。
数据范围
1 ≤ N ≤ 5000 , 1≤N≤5000, 1≤N≤5000,
0 ≤ x i ≤ 10000 0≤x_{i}≤10000 0≤xi≤10000
输入样例:
7
22 4
2 6
10 3
15 12
9 8
17 17
4 2
输出样例:
4
题解
步骤
1、通过排序,固定自变量的顺序
2、找因变量的最大上升子序列
因为 航道交叉就是
city1.first < city2.first, 但是city1.second > city2.second
所以 将一岸排序,另一个岸寻找最长上升子序列
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 5010;
int n;
PII q[N];
int f[N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i = 0;i < n;i++) scanf("%d%d",&q[i].first,&q[i].second);
sort(q,q + n);
int res = 0;
for(int i = 0;i < n;i++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 0;j < i;j++)
if(q[i].second > q[j].second)
f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
res = max(res,f[i]);
}
printf("%d",res);
return 0;
}
6.最大上升子序列和
个数的序列 b i b_{i} bi,当 b 1 < b 2 < … < b S b_{1}<b_{2}<…<b_{S} b1<b2<…<bS的时候,我们称这个序列是上升的。
对于给定的一个序列 ( a 1 , a 2 , … , a N ) (a_{1},a_{2},…,a_{N}) (a1,a2,…,aN),我们可以得到一些上升的子序列 ( a i 1 , a i 2 , … , a i K ) (a_{i1},a_{i2},…,a_{iK}) (ai1,ai2,…,aiK),这里 1 ≤ i 1 < i 2 < … < i K ≤ N 1≤i_{1}<i_{2}<…<i_{K}≤N 1≤i1<i2<…<iK≤N。
比如,对于序列 ( 1 , 7 , 3 , 5 , 9 , 4 , 8 ) (1,7,3,5,9,4,8) (1,7,3,5,9,4,8),有它的一些上升子序列,如 ( 1 , 7 ) (1,7) (1,7), ( 3 , 4 , 8 ) (3,4,8) (3,4,8)等等。
这些子序列中和最大为 18 18 18,为子序列 ( 1 , 3 , 5 , 9 ) (1,3,5,9) (1,3,5,9)的和。
你的任务,就是对于给定的序列,求出最大上升子序列和。
注意,最长的上升子序列的和不一定是最大的,比如序列 ( 100 , 1 , 2 , 3 ) (100,1,2,3) (100,1,2,3)的最大上升子序列和为100,而最长上升子序列为 ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) (1,2,3)。
输入格式
输入的第一行是序列的长度 N N N。
第二行给出序列中的 N N N个整数,这些整数的取值范围都在 0 0 0到 10000 10000 10000(可能重复)。
输出格式
输出一个整数,表示最大上升子序列和。
数据范围
1 ≤ N ≤ 1000 1≤N≤1000 1≤N≤1000
输入样例:
7
1 7 3 5 9 4 8
输出样例:
18
题解
与最长上升子序列的区别是,将+1
改为了+a[i]
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N];//序列
int f[N];//状态
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i = 1; i <= n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i = 1; i <= n;i++)
{
f[i] = a[i];//只有i一个数a[i]
for(int j = 1;j < i;j++)
if(a[j] < a[i])
f[i] = max(f[i],f[j] + a[i]);
}
int res = 0;
//枚举所有终点
for(int i = 1; i <= n;i++) res = max(res,f[i]);
printf("%d",res);
return 0;
}