Description

有一棵树，$d(u,v)$表示$u$，$v$之间最短距离。
现在要求一个排列$p_i$，使得$\sum_{i=1}^nd(i,p_i)$最大，同时满足最大时字典序最小。

Solution

对于一条边，我们肯定希望它被计算尽量多次，若左右端点连出去的节点个数分别为$x$,$y$，那么该边的最大贡献为$val\times min(x,y)\times 2$，于是选择重心来构造恰好能满足（如下）。

先把式子写出来：

选定一个根，每对点不能出现在根直接连下去的同一棵子树中。
对于根直接连向的每棵子树，设大小为$k$，子树内的点可以和子树外的$n-k$个点匹配，同时这$k$个点都要被匹配，那么$k\leq n-k$，$k\leq \lfloor\dfrac{n}{2}\rfloor$。那么选择树的重心为根就能满足。

于是我们抛开权值，只用找字典序最小的排列。

对于当前将要匹配$i$，要找到最小的$p_i$，同时满足不同根直属子树。设当前子树有$x$个未匹配的（即编号大于$i$的个数），以及有$y$个未被匹配的（在这棵子树中不出现在已确定$p_i$中的编号），那么满足$x\leq n-i+1-y$，即$x+y\leq n-i+1$。对于一棵子树满足$x+y=n-i+1$，那么当$i+1$时，$x$或$y$要减$1$。此时分两种情况：

1. $i$在这棵子树内，那么可以直接和子树外的匹配，使得$x-1$。
2. $i$不在这棵子树内，那么必须选择这棵子树内的匹配，使得$y-1$。

若当前没有满足等式的情况，直接选择与 $i$不同子树匹配即可。
（对于每次匹配，选择编号最小的）
至于重心，当满足等式时，那么必须选择那棵子树，如不满足，则匹配最小编号（可以匹配自己）。

于是可以用线段树维护，对每个子树开一个位置，存储$x$，$y$，以及被匹配了多少个。