【HDU4035】Maze 妹子（期望，树上高消）

Description

有n个房间，由n-1条隧道连通起来，实际上就形成了一棵树，从结点1出发，开始走，在每个结点i都有3种可能：
1.被杀死，回到结点1处（概率为ki）
2.找到出口，走出迷宫（概率为ei）
3.和该点相连有m条边，随机走一条
求：走出迷宫所要走的边数的期望值。
$n\le 10000$

Solution

这题其实是个套路。

考虑期望要倒推，我们设 $f(u)$ 表示已经走到 $u$ 了，剩下步数的期望。
我们先套路地设 $f(u)=A_uf(fa)+B_uf(1)+C_u$
设 $p(u)=1-k(u)-e(u)$ ，且下面式子中的 $v$ 表示的均为 $u$ 的子节点，根据题意有：

f (u) = k (u) f (1) + p (u) [1 + \frac{f (f a) + \sum f (v)}{d (u)}]

$f(u)=k(u)f(1)+p(u)[1+\frac{f(fa)+\sum f(v)}{d(u)}]$
将

f (u) = A_{u} f (f a) + B_{u} f (1) + C_{u}

$f(u)=A_uf(fa)+B_uf(1)+C_u$ 带入

\sum f (v)

$\sum f(v)$ 得：

f (u) = k (u) f (1) + p (u) [1 + \frac{f (f a) + \sum A_{v} f (u) + B_{v} f (1) + C_{v}}{d (u)}]

$f(u)=k(u)f(1)+p(u)[1+\frac{f(fa)+\sum A_vf(u)+B_vf(1)+C_v}{d(u)}]$
化简发现：

A_{u} = \frac{\frac{p (u)}{d (u)}}{1 - \frac{p (u) \sum A_{v}}{d (u)} f (u)}, B_{u} = \frac{k (u) + \frac{p (u) \sum B_{v}}{d (u)}}{1 - \frac{p (u) \sum A_{v}}{d (u)} f (u)}, C_{u} = \frac{p (u) + \frac{p (u) \sum C_{v}}{d (u)}}{1 - \frac{p (u) \sum A_{v}}{d (u)} f (u)}

$A_u=\frac{\frac{p(u)}{d(u)}}{1-\frac{p(u)\sum A_v}{d(u)}f(u)},B_u=\frac{k(u)+\frac{p(u)\sum B_v}{d(u)}}{1-\frac{p(u)\sum A_v}{d(u)}f(u)},C_u=\frac{p(u)+\frac{p(u)\sum C_v}{d(u)}}{1-\frac{p(u)\sum A_v}{d(u)}f(u)}$
有点丑不好意思

对于根，我们有：

f (1) = B_{1} f (1) + C_{1}

$f(1)=B_1f(1)+C_1$
解得最后的答案为

f (1) = \frac{C_{1}}{1 - B_{1}}

$f(1)=\frac{C_1}{1-B_1}$

Code

/**************************************
 * Au: Hany01
 * Prob: [HDU4035] Maze
 * Date: Jun 9th, 2018
 * Email: [email protected]
**************************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef vector<int> VI;
#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = j; i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j ,k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define SZ(a) ((int)(a.size()))
#define ALL(a) a.begin(), a.end()
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define Mod (1000000007)
#define y1 wozenmezhemecaia 
#ifdef hany01
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#else
#define debug(...)
#endif

template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
    register char c_; register int _, __;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); !isdigit(c_); c_ = getchar()) if (c_ == '-')  __ = -1;
    for ( ; isdigit(c_); c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

const int maxn = 10005, maxm = 20005;
const double eps = 1e-9;

int beg[maxn], nex[maxm], e, v[maxm], d[maxn];
double A[maxn], B[maxn], C[maxn], p[maxn], k[maxn];

inline void add(int uu, int vv) { v[++ e] = vv, nex[e] = beg[uu], beg[uu] = e, ++ d[vv]; }

void DFS(int u, int pa)
{
    double totb = 0, totc = 0, tota = 0;
    for (register int i = beg[u]; i; i = nex[i]) if (v[i] ^ pa)
        DFS(v[i], u), tota += A[v[i]], totb += B[v[i]], totc += C[v[i]];
    A[u] = p[u] / d[u], B[u] = k[u] + p[u] * totb / d[u], C[u] = p[u] + p[u] * totc / d[u];
    tota = 1 - p[u] * tota / d[u];
    A[u] /= tota, B[u] /= tota, C[u] /= tota;
}

int main()
{
#ifdef hany01
    File("hdu4035");
#endif

    static int uu, vv, n;

    for (static int T = read(), Case = 1; Case <= T; ++ Case) {
        n = read(), Set(beg, 0), Set(d, 0), e = 0;
        For(i, 2, n) uu = read(), vv = read(), add(uu, vv), add(vv, uu);
        For(i, 1, n) k[i] = read() / 100., p[i] = 1 - k[i] - read() / 100.;
        DFS(1, 0);
        if (fabs(1 - B[1]) < eps) printf("Case %d: impossible\n", Case);
        else printf("Case %d: %.6lf\n", Case, C[1] / (1 - B[1]));
    }

    return 0;
}