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Kruskal算法(克鲁斯卡尔算法)的高效实现需要一种称作并查集的结构。我们在这里不介绍并查集,只介绍Kruskal算法的基本思想和证明,实现留在以后讨论。
Kruskal算法的过程:
(1) 将全部边按照权值由小到大排序。
(2) 按顺序(边权由小到大的顺序)考虑每条边,只要这条边和我们已经选择的边不构成圈,就保留这条边,否则放弃这条边。
算法 成功选择(n-1)条边后,形成一个棵最小生成树,当然如果算法无法选择出(n-1)条边,则 说明原图不连通。
(2) 按顺序(边权由小到大的顺序)考虑每条边,只要这条边和我们已经选择的边不构成圈,就保留这条边,否则放弃这条边。
算法 成功选择(n-1)条边后,形成一个棵最小生成树,当然如果算法无法选择出(n-1)条边,则 说明原图不连通。
以下图为例:
处理边CD,点C与点D在同一个集合里,放弃CD。
Kruskal算法的证明。假设图连通,我们证明Krusal算法得到一棵最小生成树。我们假设Kruskal算法得到的树是K (注意我们已经假设Kruskal算法一定可以得到生成树)。假设T是一棵最小生成树,并且K ≠T, K中显然至少有一条边。我们找到在K中,而不在T中最小权值的边e。
把e加入T中,则形成一个圈,删掉这个圈中不在K中的边f,得到新的生成树T’。
f的存在性,如果全里面所有的边都在K中,则K包含圈,矛盾。
考虑边权值关系:
(1) 若w(f) > w(e), 则T’的权值和小于T的权值和,与T是最小生成树矛盾。
(2) 若w(f) < w(e), 说明Kruskal算法在考虑加入e之前先考虑了边f,之所以没加入f是因为f和之前加入的边形成圈,之前加入的边权值显然不超过w(f) (因为加边是从小到大的顺序加入的),所以之前加入的边权值一定小于w(e)。而根据e的定义,K中权值小于w(e)的边都在T中,这说明T中的边会和f构成圈,矛盾。
所以只能w(f) = w(e)。T’仍然是最小生成树,而T’和K相同的边多了一条。
这样下去有限步之后,最终可以把T变为K,从而K也是最小生成树。
边排序后为:
1 AF 1
2 DE 4
3 BD 5
4 BC 6
5 CD 10
6 BF 11
7 DF 14
8 AE 16
9 AB 17
10 EF 33
算法处理过程如下:
处理边AF,点A与点F不在同一个集合里,选中AF。
处理边DE,点D与点E不在同一个集合里,选中DE
处理边BD,点B与点D不在同一个集合里,选中BD
处理边BC,点B与点C不在同一个集合里,选中BC
处理边BF,点B与点F不在同一个集合里,选中BF。
至此,所有的点都连在了一起,剩下的边DF,AE,AB,EF不用继续处理了,算法执行结束。
把e加入T中,则形成一个圈,删掉这个圈中不在K中的边f,得到新的生成树T’。
f的存在性,如果全里面所有的边都在K中,则K包含圈,矛盾。
考虑边权值关系:
(1) 若w(f) > w(e), 则T’的权值和小于T的权值和,与T是最小生成树矛盾。
(2) 若w(f) < w(e), 说明Kruskal算法在考虑加入e之前先考虑了边f,之所以没加入f是因为f和之前加入的边形成圈,之前加入的边权值显然不超过w(f) (因为加边是从小到大的顺序加入的),所以之前加入的边权值一定小于w(e)。而根据e的定义,K中权值小于w(e)的边都在T中,这说明T中的边会和f构成圈,矛盾。
所以只能w(f) = w(e)。T’仍然是最小生成树,而T’和K相同的边多了一条。
这样下去有限步之后,最终可以把T变为K,从而K也是最小生成树。
最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个算法,只有写出了正确的程序,才能继续后面的课程。
输出示例
输入
第1行:2个数N,M中间用空格分隔,N为点的数量,M为边的数量。(2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000) 第2 - M + 1行:每行3个数S E W,分别表示M条边的2个顶点及权值。(1 <= S, E <= N,1 <= W <= 10000)
输出
输出最小生成树的所有边的权值之和。
输入示例
9 14 1 2 4 2 3 8 3 4 7 4 5 9 5 6 10 6 7 2 7 8 1 8 9 7 2 8 11 3 9 2 7 9 6 3 6 4 4 6 14 1 8 8
输出示例
37
请选取你熟悉的语言,并在下面的代码框中完成你的程序,注意数据范围,最终结果会造成Int32溢出,这样会输出错误的答案。
不同语言如何处理输入输出,请查看下面的语言说明。
使用并查集和贪心思想。适合稀疏图。
Kruskal算法实现:
- #include <iostream>
- #include <stdio.h>
- #include <stdlib.h>
- using namespace std;
- int parent[10];
- int n,m;
- int i,j;
- struct edge{
- int u,v,w; //边的顶点,权值
- }edges[10];
- //初始化并查集
- void UFset(){
- for(i=1; i<=n; i++) parent[i] = -1;
- }
- //查找i的跟
- int find(int i){
- int temp;
- //查找位置
- for(temp = i; parent[temp] >= 0; temp = parent[temp]);
- //压缩路径
- while(temp != i){
- int t = parent[i];
- parent[i] = temp;
- i = t;
- }
- return temp;
- }
- //合并两个元素a,b
- void merge(int a,int b){
- int r1 = find(a);
- int r2 = find(b);
- int tmp = parent[r1] + parent[r2]; //两个集合节点数的和
- if(parent[r1] > parent[r2]){
- parent[r1] = r2;
- parent[r2] = tmp;
- }else{
- parent[r2] = r1;
- parent[r1] = tmp;
- }
- }
- void kruskal(){
- int sumWeight = 0;
- int num = 0;
- int u,v;
- UFset();
- for(int i=0; i<m; i++)
- {
- u = edges[i].u;
- v = edges[i].v;
- if(find(u) != find(v)){ //u和v不在一个集合
- printf("加入边:%d %d,权值: %d\n", u,v,edges[i].w);
- sumWeight += edges[i].w;
- num ++;
- merge(u, v); //把这两个边加入一个集合。
- }
- }
- printf("weight of MST is %d \n", sumWeight);
- }
- //比较函数,用户排序
- int cmp(const void * a, const void * b){
- edge * e1 = (edge *)a;
- edge * e2 = (edge *)b;
- return e1->w - e2->w;
- }
- int main() {
- scanf("%d %d", &n, &m);
- for(i=0; i<m; i++){
- scanf("%d %d %d", &edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].w);
- }
- qsort(edges, m, sizeof(edge), cmp);
- kruskal();
- return 0;
- }
- /*
- 测试数据:
- 7 9
- 1 2 28
- 1 6 10
- 2 3 16
- 2 7 14
- 3 4 12
- 4 5 22
- 4 7 18
- 5 6 25
- 5 7 24
- 输出:
- 加入边:1 6,权值: 10
- 加入边:3 4,权值: 12
- 加入边:2 7,权值: 14
- 加入边:2 3,权值: 16
- 加入边:4 5,权值: 22
- 加入边:5 6,权值: 25
- weight of MST is 99 */