全排列的一些总结
今天做了一道网易的笔试题——数列还原。里面用到了全排列的想法，因此学习并总结了一下全排列算法。
1、全排列问题描述
输入一个字符串或者序列，打印出该字符串或序列中字符或元素的所有排列。例如输入字符串abc，则输出由字符a，b，c所能排列出来的所有字符串abc，acb，bac，bca，cab和cba。
2、解决思路
查了一些资料，很多都是利用递归的思想解决的。递归算法有以下几个特点：
- 必须有可达到的终止条件，否则程序陷入死循环
- 子问题在规模上比原问题小
- 子问题可通过再次递归调用求解
- 子问题的解应能组合成整个问题的解
对于字符串全排列问题，如果能生成n-1个元素的全排列，就能生成n个元素的全排列。对于只有一个元素的集合，可以直接生成全排列。所以全排列的递归终止条件很明确：只有一个元素时。我们可以分析一下全排列的过程：
（1）首先，我们固定第一个字符a，求后面两个字符bc的排列；
（2）当两个字符bc排列求好之后，我们把第一个字符a和后面的b交换，得到bac，接着我们固定第一个字符b，求后面两个字符ac的排列；
（3）现在是把c放在第一个位置的时候了，但是记住前面我们已经把原先的第一个字符a和后面的b做了交换，为了保证这次c仍是和原先处在第一个位置的a交换，我们在拿c和第一个字符交换之前，先要把b和a交换回来。在交换b和a之后，再拿c和处于第一位置的a进行交换，得到cba。我们再次固定第一个字符c，求后面两个字符b、a的排列；
（4）既然我们已经知道怎么求三个字符的排列，那么固定第一个字符之后求后面两个字符的排列，就是典型的递归思路了。
可以根据下面这张图来理解递归的过程：
3、编程实现
程序1：字符串实现
- #include<iostream>
- #include<string>
- #include<vector>
- using namespace std;
- void Permutation(string *s,int len)
- {
- if(len == (*s).length())
- cout<<(*s)<<endl;
- else
- {
- for(int i = len;i<(*s).length();++i)
- {
- swap((*s)[len],(*s)[i]);
- Permutation(s,len+1);
- swap((*s)[len],(*s)[i]);
- }
- }
- }
- int main()
- {
- string s;
- cin>>s;
- Permutation(&s,0);
- return 0;
- }
- #include<iostream>
- using namespace std;
- void Permutation(char* pStr, char* pBegin)
- {
- if(*pBegin == '\0')
- printf("%s\n",pStr);
- else
- {
- for(char* pCh = pBegin; *pCh != '\0'; pCh++)
- {
- swap(*pBegin,*pCh);
- Permutation(pStr, pBegin+1);
- swap(*pBegin,*pCh);
- }
- }
- }
- int main()
- {
- char str[] = "abc";
- Permutation(str,str);
- return 0;
- }
- #include<iostream>
- #include<vector>
- using namespace std;
- bool find(vector<int> v,int n) //查询v中是否存在整数n
- {
- for(int i = 0;i<v.size();++i)
- if(v[i]==n)
- return true;
- return false;
- }
- vector<vector<int>> pv; //全局变量
- void Perm(vector<int> &v,int st) //对v中的数字进行全排列
- {
- if(st == v.size())
- pv.push_back(v);
- else
- {
- for(int i = st;i<v.size();++i)
- {
- swap(v[i],v[st]);
- Perm(v,st+1);
- swap(v[i],v[st]);
- }
- }
- }
- void change(vector<int> &v,vector<int> subv,vector<int> vpos)//将v中的0用全排之后的数字分别代替
- {
- for(int i = 0;i<vpos.size();++i)
- v[vpos[i]] = subv[i];
- }
- int cal(vector<int> v) //计算顺序对的个数
- {
- int cnt = 0;
- for(int i = 0;i<v.size()-1;++i)
- for(int j = i+1;j<v.size();++j)
- if(v[i]<v[j])
- ++cnt;
- return cnt;
- }
- int main()
- {
- int n,k,tmp;
- while(cin>>n>>k)
- {
- vector<int> v,subv,vpos;
- for(int i = 0;i<n;++i)
- {
- cin>>tmp;
- v.push_back(tmp);
- }
- for(int i = 0;i<v.size();++i)
- if(v[i]==0)
- vpos.push_back(i); //记录下vector<int>中0的位置
- for(int i = 1;i<=n;++i)
- if(!find(v,i))
- subv.push_back(i);
- Perm(subv,0);
- vector<int> vcnt;
- for(int i = 0;i<pv.size();++i)
- {
- change(v,pv[i],vpos);
- vcnt.push_back(cal(v));
- }
- int vcntk = 0;
- for(int i = 0;i<vcnt.size();++i)
- if(vcnt[i]==k)
- ++vcntk;
- cout<<vcntk<<endl;
- }
- return 0;
- }
4、含重复元素的全排列
上述思路解法有个缺陷：对于有重复元素的全排列，排列结果会有重复。这里直接给出全排列中去掉重复的规则：去重的全排列就是从第一个数字起，每个数分别与它后面非重复出现的数字交换。
上述第一段代码核心部分修正如下：
- bool cmp(string s,int len,int i)
- {
- for(int ii = len;ii<i;++ii)
- if(s[ii]==s[i])
- return true;
- return false;
- }
- void Permutation(string *s,int len)
- {
- if(len == (*s).length())
- cout<<(*s)<<endl;
- else
- {
- for(int i = len;i<(*s).length();++i)
- {
- if(!cmp(*s,len,i))
- {
- swap((*s)[len],(*s)[i]);
- Permutation(s,len+1);
- swap((*s)[len],(*s)[i]);
- }
- }
- }
- }