abstract

• 直角坐标系内函数图象$y=f(x)$的平移
  • 左右平移
  • 上下平移
• 本文从两个角度来推导函数平移的左加右减,上加下减的口诀结论

函数的左右平移

• 函数图象平移可以理解为,函数图象上的所有点沿着同一个方向平移相同的距离,通常假设这个距离为$d$,$(d>0)$

• 记平移前的函数为$f(x),$平移后的函数为$g(x)$,平移的距离记为$d(d>0)$:$f(x)\stackrel{平移操作(距离为d)}{\Rightarrow }g(x)$,则有如下结论

• 左加右减

  • $f(x)$向左平移$d$,$g(x)=f(x+d)$
  • $f(x)$向右平移$d$,$g(x)=f(x-d)$

• 上加下减

  • $f(x)$向上平移$d$,$g(x)=f(x)+d$
  • $f(x)$向下平移$d$,$g(x)=f(x)-d$

从函数图像上的点的角度推导

从平移的相对性入手

• 设函数$y=f(x)$图象向右平移$d(d>0)$个单位后得到的函数为$g(x)$
  • 取$f(x)$上的任意一点$A(x_0,f(x_0))$,经过平移后位置为点$B(x_0+d,f(x_0))$,
  • 又因为$B$在函数$g(x)$上,从而由B的纵坐标建立起方程:$g(x_0+d)$=$f(x_0)$,由$x_0$的任意性,有$g(x+d)=f(x)$(1)
  • $g(x)$相对于$f(x)$是右移$d$个单位,而$f(x)$相对$g(x)$是左移$d$个单位,等式(1)表示的是函数$g(x)$左移$d$个单位后得到$f(x)$,
• 类似的,设函数$y=f(x)$图像左移$d(d>0)$个单位后,得到函数$g(x)$
  • $A(x_0,f(x_0))$左移成了$B(x_0-d,f(x_0))$,则$g(x_0-d)=f(x_0)$,由$x_0$的任意性,$g(x-d)=f(x)$(2)
  • 式(1)表示的是$g(x)$右移$d$得到$f(x)$

换元法

• 以右移为例,$g(x+d)$=$f(x)$,令$t=x+d$,则$g(t)=f(t-d)$,所以函数$f(x)$右移$d(d>0)$个单位得到$g(x)=f(x-d)$
• 类似地有函数$f(x)$左移$d(d>0)$个单位得到$g(x)=f(x+d)$

从坐标系平移的角度推导

• 设直角坐标系$xOy$上的函数$y=f(x)$向右平移$d(d>0)$个单位后的函数为$g(x)$
• 令以点$O^{\prime }(d,0)$为坐标原点,$x$轴正方向为正方向,建立直角坐标系$x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }$,则函数$g(x)$图象用$x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }$坐标系描述为$y^{\prime }=f(x^{\prime })$(1)
• 由直角坐标平移公式$x^{\prime }=x-x_0$,$y^{\prime }=y-y_0$,其中$x_0=d,y_0=0$,代入(1),得$(y-y_0)=f(x-x_0)$,即$y=f(x-d)$
• 更一般的,若$g(x)$是由$f(x)$向左平移$d$个单位$(d>0)$,则$x_0=-d$,$g(x)=f(x+d)$

例

• 函数$f(x)=2x+1$向右平移$3$个单位,结果$g(x)=f(x-3)$=$2(x-3)+1$=$2x-5$
  • $(0,1)$和$(3,1)$分别在$f(x),g(x)$上
• 函数$f(x)=x^2-3x+5$向左平移$4$个单位,结果函数为$g(x)=f(x+4)$=$(x+4{)}^2-3(x+4)+5$=$x^2+5x+9$

例

• 若函数$g(x)=f(2x-1)$是偶函数,则$h(x)=f(2x)$的对称轴是?
• 分析:
  • $g(x),h(x)$是抽象复合函数
  • $g(x)=f(2(x-\frac{1}{2}))$,且$g(x+\frac{1}{2})$=$f(2x)$=$h(x)$,由函数左右平移可知,$h(x)$是由$g(x)$左移$\frac{1}{2}$个单位得到
  • 又因为$g(x)$的对称轴是$x=0$,所以$h(x)$的对称轴是$x=-\frac{1}{2}$
• 方法2:
  • $f(2(-x)-1)$=$f(2x-1)$,即$f(-2x-1)$=$f(2x-1)$
  • 由于$(-2x-1)+(2x-1)=-2$,所以$f(x)$的对称轴为$x=-1$
  • 由函数的伸缩变换可知,$f(2x)$是$f(x)$横坐标乘以$\frac{1}{2}$得到的,从而$f(2x)$的对称轴是$x=-\frac{1}{2}$
• 方法3:
  • 取$x=-1,1$代入$g(x)$,得$g(-1)=g(1)$,即$f(-3)=f(1)$,从而$x=\frac{-3+1}{2}=-1$是$f(x)$的对称轴
  • $f(2\times -\frac{3}{2})$=$f(2\times \frac{1}{2})$,从而$f(2x)$的对称轴为$x=\frac{1}{2}(-\frac{3}{2}+\frac{1}{2})$=$-\frac{1}{2}$

上下平移

• 上下平移比较符合直觉,因而比较简单,不做赘述

向上平移

• 函数$f(x)$向上平移$d(d>0)$个单位,得到$g(x)=f(x)+d$
  • 设$A(x_0,f(x_0))$在$f(x)$上,将其向上平移$d$个单位后的新坐标$B(x_0,f(x_0)+d)$,$g(x_0)=f(x_0)+d$,
  • 由$x_0$的任意性,有$g(x)=f(x)+d$

向下平移

• 向下平移$d(d>0)$个单位类似于向上平移,$g(x)=f(x)-d$