题目来源:http://noi.openjudge.cn/ch0406/1768/
1768:最大子矩阵
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描述
已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵,你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。
比如,如下4 * 4的矩阵
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
的最大子矩阵是
9 2
-4 1
-1 8
这个子矩阵的大小是15。
输入
输入是一个N* N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中,依次(首先从左到右给出第一行的N个整数,再从左到右给出第二行的N个整数……)给出矩阵中的N2个整数,整数之间由空白字符分隔(空格或者空行)。已知矩阵中整数的范围都在[-127,127]。
输出
输出最大子矩阵的大小。
样例输入
4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4 1 -1
8 0 -2
样例输出
15
来源
翻译自Greater New York 2001 的试题
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思路
最大子段和的二维扩展
求n*(n+1)/2个最大子段和求最值
最大子段和 dp[i]: 子段[i,n)的和
dp[i] = max(dp[i+1] + arr[i], arr[i])
其中在求n*(n+1)/2个数组的时候有技巧:
如果把正常输入矩阵的每个元素,再计算n*(n+1)/2个行和,复杂度为O(n^4),
如果在输入的时候直接计算从第j列上从第0行到第i行的元素的和(mat[i][j]),那么第j列上从第i行到第k行的元素和就等于mat[k][j] – mat[i][j],这样两次计算每次复杂度都是O(n^3).
优化的代码参见博文NOI 2.6 动态规划 1768:最大子矩阵
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代码
// 最大子段和的二维扩展 // 求n*(n+1)/2个最大子段和求最值 // 最大子段和 dp[i]: 子段[i,n)的和 // dp[i] = max(dp[i+1] + arr[i], arr[i]) #include<iostream> #include<fstream> #include<cstring> using namespace std; const int NMAX = 105; int mat[NMAX][NMAX] = {}; int arr[NMAX] = {}; int dp[NMAX] = {}; int max_seg(int *arr, int n) // 输入长度为n的数组arr,返回最大子段和(DP) { int i,mymax; if (n==1) { return arr[0]; } dp[n-1] = arr[n-1]; for (i=n-2; i>=0; i--) { dp[i] = max(dp[i+1]+arr[i], arr[i]); } mymax = dp[0]; for (i=1; i<n; i++) { mymax = max(dp[i], mymax); } return mymax; } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE ifstream fin ("0406_1768.txt"); int n,i,j,k,l,ans,mymax; fin >> n; for (i=0; i<n; i++) { for (j=0; j<n; j++) { fin >> mat[i][j]; } } fin.close(); mymax = mat[0][0]; for (i=0; i<n; i++) { for (j=i; j<n; j++) { memset(arr, 0, sizeof(arr)); for (k=0; k<n; k++) { for (l=i; l<=j; l++) { arr[k] += mat[l][k]; } } ans = max_seg(arr,n); mymax = max(ans,mymax); } } cout << mymax; return 0; #endif #ifdef ONLINE_JUDGE int n,i,j,k,l,ans,mymax; cin >> n; for (i=0; i<n; i++) { for (j=0; j<n; j++) { cin >> mat[i][j]; } } mymax = mat[0][0]; for (i=0; i<n; i++) { for (j=i; j<n; j++) { memset(arr, 0, sizeof(arr)); for (k=0; k<n; k++) { for (l=i; l<=j; l++) { arr[k] += mat[l][k]; } } ans = max_seg(arr,n); mymax = max(ans,mymax); } } cout << mymax; #endif }