闭式解和解析解有一定的区别:
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闭式解(Closed-form solution):指的是能够用有限个数的基本数学运算(加、减、乘、除、指数、对数、三角函数等)得到的解的表达式。闭式解是一个明确给定的函数表达式。
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解析解(Analytic solution):比闭式解的定义更广泛一些,包括所有能够用代数、微积分、微分方程等数学工具系统地表示出来的解。解析解不一定是闭式解,可以包含无穷级数、积分等。
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综上,闭式解是一个特定形式的解析解。所有闭式解都是解析解,但不是所有解析解都是闭式解。
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计算和应用角度来说,闭式解更加方便,解析解中可能包含更复杂的运算和表示。
所以,总结一下,闭式解强调用基本运算表示的解,解析解指任何能系统表示的解。闭式解是解析解的一个子集。二者在计算复杂性和表示形式上有区别。
迭代解(Iterative solution)指的是通过重复迭代运算逐步逼近所要求解的数值解法。
其基本思想是:
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给出问题的初值近似解
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根据特定的迭代格式,通过前一次迭代得到的解,计算出下一次迭代的解
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重复上述迭代运算,使得迭代解逐步逼近精确解
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当迭代解足够接近精确解时,迭代结束,接受迭代所得的解作为最终数值解
迭代解法需要设计迭代格式,并且对迭代的收敛性、错误控制等进行分析。常见的迭代解法有牛顿法、Secant法、高斯赛德尔迭代法等。
迭代解法的优点是概念简单,易于实现,适用于难以精确解出解析解的方程和问题,它通过重复运算逐步使结果趋于精确,因此可以得到精度较高的数值解。