无穷级数

\(\sum_{i=1}^∞u_i=u_1+u_2+...+u_n+...\)

无穷级数就是无限项数列的加和。相比于无限项，也有有限项的级数，就是无穷级数的前n项

\(S_n=\sum_{i=1}^nu_i\)

无穷级数如果最终结果为∞，那么我们就说该无穷级数为发散的；无穷级数如果最终结果为一个数A，那么我们就说该无穷级数为收敛的。它等价于

\(\lim_{n->∞}Sn=A\)

为收敛，反之发散。

几个特殊级数

• 等比级数

\(\sum_{n=1}^∞aq^{n-1}\)    (a>0)

当公比的绝对值|q|<1时，该级数为收敛的，如

\(1+{1\over 2}+{1\over 4}+{1\over 8}+...+{1\over 2^n}+...=2\)

当|q|>1时，该级数为发散的，如

\(1+2+4+8+...+2^n+...=∞\)

• P级数

\(\sum_{n=1}^∞{1\over n^P}\)

当P≤1时，为发散的

当P>1时，为收敛的

当P=1的时候，\(\sum_{n=1}^∞{1\over n}=​∞\)

这是两个非常重要的级数。

正项级数判敛法

正项级数有如下性质：

1. 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和是有界数列；
2. 正项级数如果收敛收敛值是{\(S_n\)}的上确界；
3. 正项级数如果发散一定发散到正无穷;
4. 对于收敛的正项级数，任意调换求和顺序后得到的新级数也收敛，并且和不变；

• 比较法

1、一般形式：若

\(b_n≥a_n≥0\)

则

1. \(\sum_{n=1}^∞a_n\)发散，那么\(\sum_{n=1}^∞b_n\)也发散
2. \(\sum_{n=1}^∞b_n\)收敛，那么\(\sum_{n=1}^∞a_n\)也收敛

示例1：\(\sum_{n=1}^∞{(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n}\)

\({(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n}=({\sqrt{2}+(-1)^n\over 3})^n\)为一个正项级数

该数列并不是一个等比数列，但是我们发现

\(({\sqrt{2}+(-1)^n\over 3})^n≤({\sqrt{2}+1\over 3})^n\)

由于\(({\sqrt{2}+1\over 3})^n\)是一个等比数列，其公比\({\sqrt{2}+1\over 3}<1\)为收敛的，故

\(\sum_{n=1}^∞{(\sqrt{2}+(-1)^n)^n\over 3^n}\)为收敛的。

2、极限形式：

\(\sum_{n=1}^∞a_n\)与\(\sum_{n=1}^∞b_n\)均为正项级数

\(\lim_{n->∞}{a_n\over b_n}=C>0\)

则二者同敛散

证明：对于\(\lim_{n->∞}{a_n\over b_n}=C\)，我们知道对于任意ε>0，都存在一正整数N，使得n>N时有\(|{a_n\over b_n}-C|<ε\)，等价于

\(-​ε<{a_n\over b_n}-C<ε\)

\(C-​ε<{a_n\over b_n}<C+ε\)

\((C-​ε)b_n<a_n<(C+ε)b_n\)

由于C>0，我们可以让ε足够小，使得C-ε>0，因此

\(b_n<{a_n\over C-ε}\)

根据比较法，如果\(\sum_{n=1}^∞a_n\)收敛，则\(\sum_{n=1}^∞b_n\)同样收敛；

又有

\(a_n<(C+ε)b_n\)

则如果\(\sum_{n=1}^∞b_n\)收敛，\(\sum_{n=1}^∞a_n\)同样收敛。

示例2：\(\sum_{n=1}^∞{1\over \sqrt{n^3-n+1}}\)

由于\({1\over \sqrt{n^3-n+1}}～{1\over \sqrt{n^3}}={1\over n^{3\over 2}}\)同阶无穷小(关于无穷小的内容可以参考高等数学整理 中的函数连续性)

则有\(\lim_{n->∞}{n^{3\over 2}\over \sqrt{n^3-n+1}}=1\)

由于\(\sum_{n=1}^∞{1\over n^{3\over 2}}\)收敛，故原级数\(\sum_{n=1}^∞{1\over \sqrt{n^3-n+1}}\)同样收敛。

示例3：\(\sum_{n=2}^∞ln(1+{2\over n})\)

因为\(ln(1+{2\over n})～{2\over n}\)

由于\(\sum_{n=2}^∞{2\over n}\)是发散的，故原级数\(\sum_{n=2}^∞ln(1+{2\over n})\)是发散的。

• 比值/根值法

1、比值判别法

若\(\sum_{n=1}^∞u_n\)满足

\(\lim_{n->∞}{u_{n+1}\over u_n}=l\)

则

1. 0≤l<1，\(\sum_{n=1}^∞u_n\)收敛；
2. l>1，\(\sum_{n=1}^∞u_n\)发散；
3. l=1，待定

当n->∞的时候，

\({u_{n+1}\over u_n}=l\)

\(u_{n+1}=l⋅u_n\)

这说明它是极限状况的类等比数列，l为公比，公比小于1为收敛，大于1为发散，等于1则不确定。

示例4：\(\sum_{n=1}^∞{2^n\over n!}\)

\({u_{n+1}\over u_n}={2^{n+1}\over (n+1)!}⋅{n!\over 2^n}={2\over n+1}\)

\(\lim_{n->∞}{2\over n+1}=0<1\)

故原级数\(\sum_{n=1}^∞{2^n\over n!}\)是收敛的。

示例5：\(\sum_{n=1}^∞{2^n+3\over 3^n-2}\)

\({u_{n+1}\over u_n}={2^{n+1}+3\over 3^{n+1}-2}⋅{3^n-2\over 2^n+3}={(2+{3\over 2^n})⋅(1-{2\over 3^n})\over (3-{2\over 3^n})⋅(1+{3\over 2^n})}\)

\(\lim_{n->∞}{(2+{3\over 2^n})⋅(1-{2\over 3^n})\over (3-{2\over 3^n})⋅(1+{3\over 2^n})}={2\over 3}<1\)

故原级数\(\sum_{n=1}^∞{2^n+3\over 3^n-2}\)是收敛的。

2、根值判别法(柯西审敛法)

若\(\sum_{n=1}^∞u_n\)满足

\(\lim_{n->∞}{\sqrt[n]{u_n}}=l\)

则

1. 0≤l<1，\(\sum_{n=1}^∞u_n\)收敛；
2. l>1，\(\sum_{n=1}^∞u_n\)发散；
3. l=1，待定

当n->∞的时候，

\({\sqrt[n]{u_n}}=l\)

\(u_n=l^n\)

这同样也是一个类等比数列，l为公比，公比小于1为收敛，大于1为发散，等于1则不确定。

示例6：\(\sum_{n=1}^∞{n\over (a+{1\over n})^n}\)   (a>0)

\({\sqrt[n]{u_n}}={\sqrt[n]{n}\over a+{1\over n}}\)

\(\lim_{n->∞}{\sqrt[n]{n}\over a+{1\over n}}={1\over a}\)

1. 当\({1\over a}<1\)，原级数\(\sum_{n=1}^∞{n\over (a+{1\over n})^n}\)收敛。
2. 当\({1\over a}>1\)，原级数\(\sum_{n=1}^∞{n\over (a+{1\over n})^n}\)发散。
3. 当\({1\over a}=1\)，即a=1，\(\lim_{n->∞}{(1+{1\over n})^n}=e\) ，此处可以参考高等数学整理 中的两个重要的极限，故 原级数\(\sum_{n=1}^∞{n\over (a+{1\over n})^n}\)发散。

这里补充\(\lim_{n->​∞}{\sqrt[n]{n}}\)

\({\sqrt[n]{n}}=n^{1\over n}\)

\(\lim_{n->∞}{1\over n}=0\)

\(\lim_{n->∞}n=∞\)

这里我们继续补充幂函数的极限运算法则：

幂函数\(f(x)=x^a\)，a是常数

1. 当a>0时，\(\lim_{x->∞}x^a=∞\)
2. 当a=0时，\(\lim_{x->∞}x^a=1\)
3. 当a<0时，\(\lim_{x->∞}x^a=0\)

由该性质我们可知

\(\lim_{n->​∞}{\sqrt[n]{n}}=1\)