目录
随着数字图像技术的迅速发展,图像压缩技术在诸多领域如医学成像、遥感监测、多媒体通信等得到了广泛应用。小波变换作为一种多尺度分析工具,在图像压缩中表现出色。结合正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法,可以进一步提高图像压缩的效率和重构质量。
1.小波变换原理
小波变换是一种时频分析方法,具有多分辨率分析的特点。它通过将信号分解为一系列小波系数的组合,实现了信号在不同尺度上的表示。在图像压缩中,小波变换可以有效地去除图像中的冗余信息,保留重要特征。
1.1 连续小波变换
对于一维连续信号(f(t)),其连续小波变换定义为:
其中,(a)为尺度因子,控制小波函数的伸缩;(b)为平移因子,控制小波函数的平移;(\psi(t))为小波基函数;(*)表示复共轭。
在实际应用中,为了计算方便,通常使用离散小波变换。
1.2 离散小波变换
离散小波变换(DiscreteWavelet Transform, DWT)和离散傅里叶变换(Discrete FourierTransform, DFT)不一样,在Matlab中确实有dwt函数,但它与一般书中讲的DWT不一样,dwt是基于Mallat(法国学者,音译为马拉特)算法实现的,针对的离散时间信号,而DWT指的是将连续小波变换(Continuous WaveletTransform, CWT)中的尺度参数a和时移参数b离散化,即将下式中的a和b离散化,但t仍然是连续的。离散小波变换通过对尺度因子和平移因子进行离散化,将连续小波变换转化为离散形式。常用的离散小波变换有二进制小波变换,其定义为:
其中,(a)为尺度因子,控制小波函数的伸缩;(b)为平移因子,控制小波函数的平移;(\psi(t))为小波基函数;(*)表示复共轭。对于二维图像信号,可以通过一维小波变换的张量积形式进行扩展,得到二维小波变换。
2.OMP算法原理
OMP算法是一种贪婪算法,用于求解稀疏信号的重建问题。在图像压缩中,OMP算法可以从压缩后的观测信号中恢复出原始图像信号。OMP算法的基本思想是在每一步迭代中,从观测矩阵中选择与当前残差最相关的列,然后利用最小二乘法更新已选列对应的稀疏系数,最后更新残差。具体步骤如下:
3.基于小波变换和OMP的图像压缩算法
基于小波变换和OMP的图像压缩算法结合了小波变换的多尺度分析能力和OMP算法的稀疏信号重建能力,实现了高效、高质量的图像压缩。具体步骤如下:
- 对原始图像进行小波变换,得到一系列小波系数。
- 对小波系数进行稀疏表示,即将其表示为观测矩阵中少数列的线性组合。这一步可以通过OMP算法实现,将小波系数作为观测信号,选择合适的观测矩阵(如随机高斯矩阵)进行稀疏表示。
- 对稀疏表示后的系数进行量化编码,以进一步减少数据量。
- 在接收端,对量化编码后的系数进行解码,得到稀疏表示的系数。
- 利用OMP算法和观测矩阵重构小波系数。
- 对重构后的小波系数进行逆小波变换,得到压缩后的图像。
基于小波变换和OMP的图像压缩算法充分利用了小波变换的多尺度分析能力和OMP算法的稀疏信号重建能力,实现了高效、高质量的图像压缩。该算法在保留图像重要特征的同时,有效地去除了冗余信息,降低了存储和传输成本。在实际应用中,可以根据具体需求调整小波基函数、观测矩阵和稀疏度等参数,以达到最佳压缩效果。
4.matlab程序
function hat_y=omp(s,T,N) %定义omp函数,输入参数为测量值向量s,传感矩阵T和稀疏度N
%获取传感矩阵T的大小,返回一个包含行数和列数的数组
Size=size(T); % 提取传感矩阵T的行数,即测量值的数目
M=Size(1); % 初始化待重构的谱域(变换域)向量为长度为N的零向量
hat_y=zeros(1,N);
Aug_t=[]; % 初始化增量矩阵为空矩阵
r_n=s; % 初始化残差值为测量值向量s
for times=1:M/4; % 开始迭代,迭代次数设定为测量值数目的1/4(这里可能是一个经验值或者特定设置)
for col=1:N; % 遍历传感矩阵T的所有列向量
product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 计算传感矩阵的每一列与当前残差的内积,并取其绝对值
end
[val,pos]=max(product); % 找到内积绝对值最大的列,并返回其值和位置
Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; % 将找到的列添加到增量矩阵中
T(:,pos)=zeros(M,1); % 将传感矩阵中已选中的列置为零(实际上应该去掉这列,但这里简化了操作)
aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s; % 使用最小二乘法求解当前增量矩阵下的稀疏系数
r_n=s-Aug_t*aug_y; % 更新残差
pos_array(times)=pos; % 记录本次迭代中找到的列的位置
if (norm(r_n)<9) % 判断残差二范数是否小于9(这个阈值可能需要根据具体问题调整)
break;
end
end
hat_y(pos_array)=aug_y; % 根据记录的位置信息,将稀疏系数赋值给重构向量对应的位置
function ww=DWT(N)
[h,g]= wfilters('sym8','d'); % 获取'sym8'小波的低通和高通分解滤波器系数
% (注释掉的代码)指定输入信号的长度N,应为2的整数幂
L=length(h); % 获取滤波器长度
rank_max=log2(N); % 计算最大分解层数
rank_min=double(int8(log2(L)))+1; % 计算最小分解层数,但这里使用int8可能不是最佳选择,建议使用floor
ww=1; % 初始化变换矩阵为1(这里应该是初始化一个单位矩阵,但代码有误)
% 矩阵构造
for jj=rank_min:rank_max% 从最小层数到最大层数进行循环
% 计算当前层的信号长度
nn=2^jj;
% 构造向量
p1_0=sparse([h,zeros(1,nn-L)]);% 构造稀疏格式的低通滤波器向量,后面补零
p2_0=sparse([g,zeros(1,nn-L)]);% 构造稀疏格式的高通滤波器向量,后面补零
% 向量圆周移位
for ii=1:nn/2% 对每个位置进行循环移位以构造滤波器组
p1(ii,:)=circshift(p1_0',2*(ii-1))';% 低通滤波器向量循环移位
p2(ii,:)=circshift(p2_0',2*(ii-1))';% 高通滤波器向量循环移位
end
% 构造正交矩阵
w1=[p1;p2];% 将移位后的低通和高通滤波器组合成正交矩阵的前半部分
mm=2^rank_max-length(w1);% 计算需要补零的行数(但这里的计算可能不正确)
w=sparse([w1,zeros(length(w1),mm);zeros(mm,length(w1)),eye(mm,mm)]);% 构造完整的正交变换矩阵,但这里逻辑可能有误
ww=ww*w;% 累积变换矩阵(但初始ww应为单位矩阵)
clear p1;clear p2;
end
up4012
仿真结果如下: