傅里叶变换及应用python版(1)

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一、前言

傅里叶变换是科学、数学、通信领域最重要的算法之一。Joseph Fourier 在19世界发明傅里叶变换，最开始用于热传导分析，后来在各个领域得到广泛应用。

这篇文章谈谈我对傅里叶变换的理解和学习方法，既有理论基础，也讲代码实践。

前置知识要求：无(零基础也能看懂)
读完你能收获什么：
- 理解傅里叶变换原理
- 用python处理简单的一维、二维信号(图像滤波)

限于篇幅，不会详细展开每个公式，对于疑惑的地方，建议读者先记录下来，不要打断本篇文章的学习，之后再逐个查阅资料

二、傅里叶变换基础

傅里叶变换的深入理解，可以参考文末列举的学习资料。此处简单说明相关概念。

开始接触可能会比较抽象，不用着急，毕竟我们不是做基础科研，能理解基础概念，能合理的运用以实现功能即可。

傅里叶级数

傅里叶理论讲的是：任何信号可以由一组正余弦函数表达。其中，每个函数有相位、频率、幅值属性。(相比相位，更多的关注幅值)

比如信号signal_1，只有一个频率为5，即每秒经过5个周期

signal_1 = sin(2π * 5 * t)

时间域的图像为：

在频域空间，则只有一个频率5

比如信号signal_2，由三个正弦函数组成，

频率为5，幅值为1：sin(2π * 5 * t)
频率为7，幅值为1：3*sin(2π * 7 * t)
频率为14，幅值为6：6*sin(2π * 14 * t)

$signal_2 = sin(2π*5*t) + 3*sin(2π*7*t) + 6*sin(2π*14*t)$

在频域对应有三个点

由此，可以提炼出傅里叶级数公式，一个周期函数，可以由多个正余弦函数组合而成，每个子函数有不同的周期、幅值：

通过欧拉公式写成复数形式：

此处 $C_k$ 为复数，如果你对欧拉公式、复数的概念比较模糊，建议此处你停下来，上网搜下欧拉公式的解释

推导过程参考：
https://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/4917553.html

傅里叶变换

到此，我们只是知道一个函数可以用多个三角函数组合，但是我们并不知道这些三角函数是什么，它们的频率、幅度是多少呢？

傅里叶变换，即求每个分量的系数：

可以这么理解这个，将 $e^{2πist}$ 看成一个基向量

( $e^{2πis * 1}、e^{2πis * 2}、、e^{2πis * 3}...$ )，f(t)也看成向量(f(1)、f(2)、f(3)…)，则上面那个积分可以看成两个向量的点积，即求f向量在该基向量上的投影

傅里叶逆变换，即根据分量求出原信号函数：

建议有时间，参考我文末给的必读项参考资料，里面有严谨的数学推导。

三、离散傅里叶变换

从连续很自然过渡到离散的傅里叶变换：

$\mathcal{F}f[m]$ 即三角函数的系数，连续傅里叶变换里用 $C_k$ 表示

观察上面的公式，其实就是将连续的函数f(x)积分，替换到离散的点积。

离散傅里叶逆变换，即求原离散信号:

推导过程参考：
https://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/4992463.html

四、快速傅里叶变换(fft)

快速傅里叶变换并没有改变傅里叶变换的原理，只是在计算形式上，做了算法优化。

要完整讲清楚快速傅里叶变换，要花点时间，而且理解起来也有点费劲。对初次接触的同学，知道有这种算法即可，python里对fft有非常好的实现，用的时候知道如何调用即可。

# python fft
scipy.fftpack.fft(signal)

# python ifft
scipy.fftpack.ifft(Ck)

原理是将积分写成矩阵乘法，利用矩阵的周期性、对称性，将原矩阵乘法简化

推导过程可以参考：
https://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/5111679.html

五、参考资料

我参考的学习资料 or 课程

傅里叶分析之掐死教程（完整版）20分钟(必读)

https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358

几乎没有公式符号，小白扫盲贴

傅里叶级数与傅里叶变换 1.5小时(必读)

https://space.bilibili.com/230105574/channel/seriesdetail?sid=1569597

纯数学公式推导，逻辑清晰，帮你建立严谨的认知

斯坦福公开课-傅里叶变换及应用 30小时(选修)

https://www.bilibili.com/video/BV1Qx411J7ER/?vd_source=7f6a092b306354c9eef8f3cd5bd5307d

全球经典课程，全程手写板书、幽默热情。有时间的话可以学一遍，比国内老师讲的好太多了。

傅里叶变换及应用笔记(选读)

https://www.cnblogs.com/TaigaCon/category/1189650.html?page=1

微分方程 1小时 (选修)

https://www.bilibili.com/video/BV12b411W7DN?p=1&vd_source=7f6a092b306354c9eef8f3cd5bd5307d

上面的公开课里需要点微分方程知识，作为简单的复习

掌握傅里叶变换及应用 10小时(选修)

https://www.bilibili.com/video/BV1X8411a74G/?vd_source=7f6a092b306354c9eef8f3cd5bd5307d

通过python代码演示，深入浅出讲傅里叶变换的原理及应用，非常棒的课程

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