【LOJ2320】「清华集训 2017」生成树计数

其他 2018-07-01 04:01:13 阅读次数: 0

【题目链接】

【思路要点】

  • 连上\(a_i\)的限制，题目要求的实际上是\(\sum_{T}\prod_{i=1}^{N}a_i^{d_i}*d_i^{M}\sum_{i=1}^{N}d_i^{M}\)。
  • 我们知道树的Prufer序列与树点的度数密切相关，因此考虑使用Prufer序列解题。
  • Prufer序列提供了一个长度为\(N-2\)，各个元素在\(N\)以内的正整数序列和\(N\)个节点的有标号无根树的双射，每个元素在Prufer序列中出现的次数+1就是其在树上的点度。
  • 考虑给定式子的组合意义：写出一个Prufer序列，在序列后补足1到\(N\)各一个，使得各数出现次数等于其树上的点度，在每一种数中选择一个位置涂色（每次涂的颜色不同，且不会覆盖），重复\(M\)次；再选取一个数\(X\)，重复对某个写有\(X\)的位置涂色\(M\)次，最后将方案数乘以这个数列上各个数权值（\(a_i\)）的乘积，将结果加入答案。
  • 记\(f_{i,j}\)表示考虑了1到\(i\)，尚未选取过\(X\)，Prufer序列中的\(N-2\)个位置有\(j\)个位置已经涂了色，可行的方案数与已经考虑过的数的权值乘积的和；\(g_{i,j}\)表示考虑了1到\(i\)，已经选取过\(X\)，Prufer序列中的\(N-2\)个位置有\(j\)个位置已经涂了色，可行的方案数与已经考虑过的数的权值乘积的和。
  • 转移时枚举对于\(i\)，有多少Prufer序列中的位置被涂了色，则有$$f_{i,j}=\sum_{k=0}^{M}f_{i-1,j-k}*\binom{N-2-j+k}{k}*a_i^{k+1}*(S(M,k)*k!+S(M,k+1)*(k+1)!)$$ $$g_{i,j}=\sum_{k=0}^{2*M}f_{i-1,j-k}*\binom{N-2-j+k}{k}*a_i^{k+1}*(S(2*M,k)*k!+S(2*M,k+1)*(k+1)!)$$ $$g_{i,j}=g_{i,j}+\sum_{k=0}^{M}g_{i-1,j-k}*\binom{N-2-j+k}{k}*a_i^{k+1}*(S(M,k)*k!+S(M,k+1)*(k+1)!)$$
  • 其中\(S(M,k)\)表示第二类斯特林数。
  • 最终计算答案有\(Ans=\sum_{i=0}^{N-2}g_{N,i}*(\sum_{j=1}^{N}a_j)^{N-2-i}\)。
  • 直接实现上述DP，时间复杂度\(O(N^2M)\)。
  • 上述DP的式子可以的化为卷积的形式：$$F_i=F_{i-1}*A_i,G_i=G_{i-1}*A_i+F_{i-1}*B_i$$
  • 其中\(A_i,B_i\)为转移系数多项式，\(A_i\)的次数为\(M\)，\(B_i\)的次数为\(2*M\)，我们希望求出\(G_N\)系数的最后\(N-1\)项。
  • 分治NTT，将系数卷积起来，并每一步对\(x^N\)取模即可。
  • 时间复杂度\(O(NMLogN)\)。

【代码】

  • 暴力DP，时间复杂度\(O(N^2M)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXM = 65;
const int MAXN = 6005;
const int P = 998244353;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int power(int x, int y) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
int n, m, a[MAXN], inv[MAXN], fac[MAXN];
int f[MAXN][MAXN], g[MAXN][MAXN], s[MAXM][MAXM], p[MAXN][MAXM];
int c(int x, int y) {
	return 1ll * fac[x] * inv[y] % P * inv[x - y] % P;
}
void update(int &x, int y) {
	x = (x + y) % P;
}
int main() {
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i < MAXN; i++)
		fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
	inv[MAXN - 1] = power(fac[MAXN - 1], P - 2);
	for (int i = MAXN - 2; i >= 0; i--)
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1ll) % P;
	s[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i < MAXM; i++)
	for (int j = 1; j <= i; j++)
		s[i][j] = (s[i - 1][j - 1] + 1ll * j * s[i - 1][j]) % P;
	for (int i = 1; i < MAXM; i++)
	for (int j = 1; j <= i; j++)
		s[i][j] = (1ll * s[i][j] * fac[j]) % P;
	read(n), read(m);
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		read(a[i]), sum = (sum + a[i]) % P;
		p[i][0] = 1;
		for (int j = 1; j < MAXM; j++)
			p[i][j] = 1ll * p[i][j - 1] * a[i] % P;
	}
	f[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 0; j <= n - 2; j++) {
		for (int k = 0; k <= j && k <= m; k++) {
			int tmp = 1ll * c(n - 2 - j + k, k) * p[i][k + 1] % P * s[m][k] % P;
			update(f[i][j], 1ll * f[i - 1][j - k] * tmp % P);
			if (k != m) {
				int tmp = 1ll * c(n - 2 - j + k, k) * p[i][k + 1] % P * s[m][k + 1] % P;
				update(f[i][j], 1ll * f[i - 1][j - k] * tmp % P);
			}
		}
		for (int k = 0; k <= j && k <= 2 * m; k++) {
			int tmp = 1ll * c(n - 2 - j + k, k) * p[i][k + 1] % P * s[2 * m][k] % P;
			update(g[i][j], 1ll * f[i - 1][j - k] * tmp % P);
			if (k != 2 * m) {
				int tmp = 1ll * c(n - 2 - j + k, k) * p[i][k + 1] % P * s[2 * m][k + 1] % P;
				update(g[i][j], 1ll * f[i - 1][j - k] * tmp % P);
			}
		}
		for (int k = 0; k <= j && k <= m; k++) {
			int tmp = 1ll * c(n - 2 - j + k, k) * p[i][k + 1] % P * s[m][k] % P;
			update(g[i][j], 1ll * g[i - 1][j - k] * tmp % P);
			if (k != m) {
				int tmp = 1ll * c(n - 2 - j + k, k) * p[i][k + 1] % P * s[m][k + 1] % P;
				update(g[i][j], 1ll * g[i - 1][j - k] * tmp % P);
			}
		}
	}
	int ans = 0;
 	for (int i = 0; i <= n - 2; i++)
		update(ans, 1ll * g[n][i] * power(sum, n - 2 - i) % P);
	writeln(ans);
	return 0;
}
  • NTT优化后的DP，时间复杂度\(O(NMLogN)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXM = 65;
const int MAXN = 262144;
const int MAXLOG = 20;
const int P = 998244353;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int inv[MAXN], fac[MAXN], s[MAXM][MAXM];
int n, m, a[MAXN], p[MAXN][MAXM];
int f[MAXLOG][MAXN], g[MAXLOG][MAXN];
namespace NTT {
	const int MAXN = 262144;
	const int P = 998244353;
	const int G = 3;
	int power(int x, int y) {
		if (y == 0) return 1;
		int tmp = power(x, y / 2);
		if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
		else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
	}
	int N, Log, home[MAXN];
	void NTTinit() {
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			int ans = 0, tmp = i;
			for (int j = 1; j <= Log; j++) {
				ans <<= 1;
				ans += tmp & 1;
				tmp >>= 1;
			}
			home[i] = ans;
		}
	}
	void NTT(int *a, int mode) {
		for (int i = 0; i < N; i++)
			if (home[i] < i) swap(a[i], a[home[i]]);
		for (int len = 2; len <= N; len <<= 1) {
			int delta;
			if (mode == 1) delta = power(G, (P - 1) / len);
			else delta = power(G, P - 1 - (P - 1) / len);
			for (int i = 0; i < N; i += len) {
				int now = 1;
				for (int j = i, k = i + len / 2; k < i + len; j++, k++) {
					int tmp = a[j];
					int tnp = 1ll * a[k] * now % P;
					a[j] = (tmp + tnp) % P;
					a[k] = (tmp - tnp + P) % P;
					now = 1ll * now * delta % P;
				}
			}
		}
		if (mode == -1) {
			int inv = power(N, P - 2);
			for (int i = 0; i < N; i++)
				a[i] = 1ll * a[i] * inv % P;
		}
	}
	void times(int *fx, int *fy, int *gx, int *gy, int limit) {
		N = 1, Log = 0;
		while (N <= limit) {
			N <<= 1;
			Log++;
		}
		for (int i = limit + 1; i < N; i++)
			fx[i] = fy[i] = gx[i] = gy[i] = 0;
		NTTinit();
		NTT(fx, 1), NTT(fy, 1);
		NTT(gx, 1), NTT(gy, 1);
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			gx[i] = (1ll * fx[i] * gy[i] + 1ll * fy[i] * gx[i]) % P;
			fx[i] = 1ll * fx[i] * fy[i] % P;
		}
		NTT(fx, -1), NTT(gx, -1);
		for (int i = limit + 1; i < N; i++)
			fx[i] = gx[i] = 0;
	}
}
void update(int &x, int y) {
	x += y;
	if (x >= P) x -= P;
}
void init() {
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i < MAXN; i++)
		fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
	inv[MAXN - 1] = NTT :: power(fac[MAXN - 1], P - 2);
	for (int i = MAXN - 2; i >= 0; i--)
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1ll) % P;
	s[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i < MAXM; i++)
	for (int j = 1; j <= i; j++)
		s[i][j] = (s[i - 1][j - 1] + 1ll * j * s[i - 1][j]) % P;
	for (int i = 1; i < MAXM; i++)
	for (int j = 1; j <= i; j++)
		s[i][j] = (1ll * s[i][j] * fac[j]) % P;
}
void solve(int l, int r, int depth) {
	int limit = min((r - l + 2) * m, n);
	for (int i = 0; i <= limit; i++)
		f[depth][i] = g[depth][i] = 0;
	if (l == r) {
		for (int k = 0; k <= m; k++) {
			update(f[depth][k], 1ll * inv[k] * p[l][k + 1] % P * s[m][k] % P);
			if (k != m) update(f[depth][k], 1ll * inv[k] * p[l][k + 1] % P * s[m][k + 1] % P);
		}
		for (int k = 0; k <= 2 * m; k++) {
			update(g[depth][k], 1ll * inv[k] * p[l][k + 1] % P * s[2 * m][k] % P);
			if (k != 2 * m) update(g[depth][k], 1ll * inv[k] * p[l][k + 1] % P * s[2 * m][k + 1] % P);
		}
		for (int i = limit + 1; i <= 2 * (limit + m); i++)
			f[depth][i] = g[depth][i] = 0;
		return;
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	solve(l, mid, depth);
	solve(mid + 1, r, depth + 1);
	NTT :: times(f[depth], f[depth + 1], g[depth], g[depth + 1], min((mid - l + 2) * m, n) + min((r - mid + 1) * m, n));
	for (int i = limit + 1; i <= 2 * (limit + m); i++)
		f[depth][i] = g[depth][i] = 0;
}
int main() {
	init();
	read(n), read(m);
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		read(a[i]), sum = (sum + a[i]) % P;
		p[i][0] = 1;
		for (int j = 1; j < MAXM; j++)
			p[i][j] = 1ll * p[i][j - 1] * a[i] % P;
	}
	solve(1, n, 0);
	int ans = 0;
 	for (int i = 0; i <= n - 2; i++)
		update(ans, 1ll * g[0][i] * NTT :: power(sum, n - 2 - i) % P * fac[n - 2] % P * inv[n - 2 - i] % P);
	writeln(ans);
	return 0;
}

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