Description
Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.
Example 1
Input: n = 12
Output: 3
Explanation: 12 = 4 + 4 + 4.
Example 2
Input: n = 13
Output: 2
Explanation: 13 = 4 + 9.
Solution 1(C++)
static int x =[](){std::ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL); return 0;}();
class Solution{
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n+1, n+1);
dp[0] = 0;
for(int i=1; i <= n; i++){
for(int j=1, j2; (j2=j*j) <= i; j++){
dp[j] = min(dp[j], dp[j-i2]+1);
}
}
return dp[n];
}
};
Solution 2(C++)
static int x =[](){std::ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL); return 0;}();
class Solution{
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n+1, INT_MAX);
for(int i=0; i <= n; i++){
if(i == 0) dp[i] = 0;
else if(isSquare(i)) dp[i] = 1;
else{
for(int j=1; j*j<i; j++){
dp[i] = min(dp[i], dp[i-j*j]+1);
}
}
}
return dp[n];
}
private:
bool isSquare(int n){
int temp = (int)sqrt(n);
return n == temp*temp;
}
};
Solution 3(C++)
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
while (n % 4 == 0) n /= 4;
if (n % 8 == 7) return 4;
for (int a = 0; a * a <= n; ++a) {
int b = sqrt(n-pow(a, 2));
if (a*a + b*b == n) {
return !!a + !!b;
}
}
return 3;
}
};
算法分析
解法二:
首先说一说解法二,解法二的思路比较简单,形式看上去更加直观。按照一般的思路,构建一个0~n的数组,数组长度为n+1,初始值设为n+1(这样大于n,因为最坏的情况,n也就由n个1构成,1是平方数),当然这个初始值可以设为一个较大数(因为后面要进行取小的运算)。那么,对于数组中的i,有如下可能:
- 如果 i=0,则 dp[0] = 0,
- 如果i是平方数:1、4、9…,则对应的dp[1]、dp[4]、dp[9]都为1
- 除此之外的i,可以不难分析出状态转移方程:dp[i] = min(dp[i], dp[ i - j * j]+1),其中j是满足:j*j < i,的平方数的平方根。
整理即可得到解法二的代码。
解法一:
基于解法二的思路,尤其是状态转移方程:dp[i] = min(dp[i], dp[ i - j * j]+1),我们可以将这道题换一个说法来描述:
给定一个数n,要在若干个数:i1*i1, i2*i2, i3*i3···中找到一种组合,使得组合的和等于给定的数n。
之所以要是用这样一种表述,是因为类似的:“求若干数的组合,使得组合的和等于给定数”的这样一种问题,我在后面还遇到过多次,甚至很多问题都能转换为这种问题。所以,在这里需要对这种问题有一个注意。
后面我会综合遇到的几种题,放在一起,对比一下,如果高效的解决这种问题。
继续上面的话题,对于这种表述,需要注意本题中特殊的一点就是,“若干数的组合”中的“若干数”是有限制条件的:全都是平方数。此外,对于“组合”的要求没有限制,一个数可以不出现、也可以重复出现多次。这一点在后面的题目中会有变形。
解决这种问题,状态转移方程一般都很容易得到:dp[i] = min(dp[i], dp[ i - j * j]+1)。但是要注意的是,这里有两重循环:
- 对“若干数”的遍历
- 对动态规划数组的遍历
那么两重循环的里外顺序不同会导致答案的正确与否。此外,还要注意遍历的顺序,比如解法一中的遍历顺序都是从小到大,但是后面的类似的题目顺序有的是从大到小。这需要注意。
解法一采用的算法思路是:
- 对动态规划数组进行遍历,选取其中一个数i。
- 对不大于i的所有平方数:j*j,进行遍历,根据状态转移方程:dp[i] = min(dp[i], dp[ i - j * j]+1),可以知道对于i,j * j应不应该成为组合的一部分。注意:dp[0] = 0。
- 两重循环遍历完成之后,dp[n]就是要求的结果。
关于解法一的算法分析就先到这里,对于后面相关的类似题目,我还会后续更新,之后可以结合对照着看,因为会有更多体会。
解法三:
纯数学的方法,不知道是不是根据拉格朗日四方定理变形而来的。不过,现在作为一名程序员,优先搞懂DP算法。所以在这里mark一下,后面有时间在看到这道题,可以了解一下,
关于拉格朗日四方定理可参考:Lagrange’s four-square theorem。
程序分析
略。