orz DP 。

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Solution

画个图可以发现是长城一样的形状。具体是：
$2K+1$ 个非空矩形顺次横向相接，这些矩形底部所处的行号相等。
对于第 $i\>\>\>\>\>(i>1)$ ，
如果 $i$ 是奇数，那么第 $i$ 个矩形严格高于第 $i-1$ 个矩形。
否则 $i$ 是偶数，那么第 $i$ 个矩形严格低于第 $i-1$ 个矩形。
枚举封闭图形最后一行所处的行号（记为 $rw$ ）：
定义状态： $f[i][j][k]$ 表示由 $k$ 个矩形组成，第 $k$ 个矩形的右下角为 $(rw,i)$ ，高度为 $j$ ，前 $k$ 个矩形的最大权值和。
注： $sum(l,r,i)$ 表示第 $i$ 列从第 $l$ 个格子到第 $r$ 个格子的权值之和，可以用前缀和 $O(1)$ 求出。
转移当然是从 $(rw,i-1)$ 转移到 $(rw,i)$ ：

$$f[i][j][k]=f[i-1][j][k]+sum(rw-j+1,rw,i)$$
可以发现，上面的转移忽略了一种情况：第 $k$ 个矩形只占用一列。
所以，当 $i$ 为奇数时：
$$f[i][j][k]=\max(f[i][j][k],f[i-1][<j][k-1]+sum(rw-j+1,rw,i))$$
否则 $i$ 为偶数时：
$$f[i][j][k]=\max(f[i][j][k],f[i-1][>j][k-1]+sum(rw-j+1,rw,i))$$
上面两个转移在实现上可以用 前缀 / 后缀最大值 将转移优化到 $O(1)$ 。
边界比较复杂：
$$\forall0\le i\le m,1\le j\le rw,f[i][j][0]=0$$
$$\forall0\le i\le m,f[i][0][0]=0$$
其余初始值为 $-\infty$ 。
第一个边界比较好理解，关键是第二个边界中为什么第二维可以为 $0$ 。
答案是：当第一个矩形的高度为 $1$ 时，该状态不可能从 $f[...][1][0]$ 转移。 （因为高度要 严格大于前一个矩形）
行号上界为 $rw$ 时的最优解为：
$$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{rw}f[i][j][2K+1]$$
复杂度 $O(n^2mK)$ 。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Rof(i, a, b) for (i = a; i >= b; i--)
using namespace std;
inline int read() {
    int res = 0; bool bo = 0; char c;
    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
    return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int N = 102, M = 24, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, K, a[N][N], sum[N][N], f[N][N][M], g[N][N][M], h[N][N][M], ans = -INF;
int solve(int rw) {
    int i, j, k; For (i, 1, m) sum[rw][i] = sum[rw - 1][i] + a[rw][i];
    For (i, 0, m) For (j, 0, rw + 1) For (k, 0, K)
        f[i][j][k] = g[i][j][k] = h[i][j][k] = -INF;
    For (j, 1, rw) f[0][j][0] = 0, g[0][j][0] = max(g[0][j - 1][0], f[0][j][0]);
    Rof (j, rw, 1) h[0][j][0] = max(h[0][j + 1][0], f[0][j][0]);
    f[0][0][0] = g[0][0][0] = 0; For (i, 1, m) For (k, 0, K) {
        if (!k) f[i][0][0] = g[i][0][0] = 0; For (j, 1, rw) {
            f[i][j][k] = !k ? 0 : sum[rw][i] - sum[rw - j][i] +
                max(f[i - 1][j][k], k & 1 ? g[i - 1][j - 1][k - 1]
                    : h[i - 1][j + 1][k - 1]);
        }
        For (j, 1, rw) g[i][j][k] = max(g[i][j - 1][k], f[i][j][k]);
        Rof (j, rw, 1) h[i][j][k] = max(h[i][j + 1][k], f[i][j][k]);
    }
    int ans = -INF; For (i, 1, m) ans = max(ans, g[i][rw][K]); return ans;
}
int main() {
    int i, j; n = read(); m = read(); K = read(); (K <<= 1)++;
    For (i, 1, n) For (j, 1, m) a[i][j] = read();
    For (i, 1, n) ans = max(ans, solve(i)); cout << ans << endl; return 0;
}